2015-2016学年高中数学31回归分析的基本思想及其初步应用课时作业新人教A版选修2-3

1【成才之路】2015-2016学年高中数学3.1回归分析的基本思想及其初步应用课时作业新人教A版选修2-3一、选择题1．(2015·宝鸡市金台区高二期末)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A．y^＝1.23x＋4B．y^＝1.23x－0.08C．y^＝1.23x＋0.8D．y^＝1.23x＋0.08[答案]D[解析]设回归直线方程为y^＝1.23x＋a，∵样本点的中心为(4,5)，∴5＝1.23×4＋a，∴a＝0.08，∴回归直线方程为y^＝1.23x＋0.08，故选D．2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]D[解析]r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D．3．(2014·重庆理，3)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y－＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为()A．y^＝0.4x＋2.3B．y^＝2x－2.4C．y^＝－2x＋9.5D．y^＝－0.3x＋4.4[答案]A[解析]因为变量x和y正相关，所以回归直线的斜率为正，排除C、D；又将点(3,3.5)代入选项A和B的方程中检验排除B，所以选A．24．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量x与y相对应的一组数据(1，y1)、(5，y2)、(7，y3)、(13，y4)、(19，y5)得到的线性回归方程为y^＝2x＋45，则y－＝()A．135B．90C．67D．63[答案]D[解析]∵x－＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y－＝2x－＋45，∴y－＝2×9＋45＝63，故选D．5．(2014·淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量，得到如下数据：x－1－2－3－4－554321y－0.9－2－3.1－3.9－5.154.12.92.10.9则两变量之间的线性回归方程为()A．y^＝0.5x－1B．y^＝xC．y^＝2x＋0.3D．y^＝x＋1[答案]B[解析]因为x－＝0，y－＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x－，y－)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B．6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下[答案]C[解析]将x的值代入回归方程y^＝7.19x＋73.93时，得到的y^值是年龄为x时，身高的估计值，故选C．二、填空题7．下列五个命题，正确命题的序号为____________.①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；3④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．[答案]③④⑤[解析]变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．8．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．由散点图初步判定其具有线性相关关系，则由此得到的回归方程的斜率是________.施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455[答案]4.75[解析]列表如下，i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475x＝30，y≈399.3，i＝17x2i＝7000，i＝17xiyi＝87175则b^≈87175－7×30×399.37000－7×302≈4.75.回归方程的斜率即回归系数b^.9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：年平均气温(℃)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mm)542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)[答案]不具有[解析]画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．4三、解答题10．某工厂的产品产量与单位成本的资料如下表所示，请进行线性回归分析.月份产量x(千件)单位成本y(元/件)x2xy127341462372921634711628443739219546916276656825340合计21426791484[解析]设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，x＝216，y＝4266＝71，i＝16x21＝79，i＝16xiyi＝1481，∴b^＝1481－6×216×7179－6×2162＝－105.5≈－1.8182，a^＝71－(－1.8182)×216≈77.36.回归直线方程为y^＝77.36－1.8182x.由回归系数b^为－1.8182知，产量每增加1000件，单位成本下降约1.82元．一、选择题11．(2014·哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个()(1)回归直线过样本点的中心(x－，y－)；(2)线性回归方程对应的直线y^＝b^x＋a^至少经过其样本数据点(x1，y1)、(x2，y2)、…、5(xn，yn)中的一个点；(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；(4)在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好．A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]由回归分析的概念知①④正确，②③错误．12．(2014·哈师大附中高二期中)某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4℃时，预测销售量约为()A．68B．66C．72D．70[答案]A[解析]∵x－＝14(18＋13＋10－1)＝10，y－＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.13．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg[答案]D[解析]本题考查线性回归方程．D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14.(2015·江西抚州市七校联考)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()6A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1[答案]C[解析]∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，∴X＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋135＝11.72，Y＝1＋2＋3＋4＋55＝3，i＝15(xi－x)(yi－y)＝(10－11.72)×(1－3)＋(11.3－11.72)×(2－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(4－3)＋(13－11.72)×(5－3)＝7.2，i＝15xi－x2i＝15yi－y2＝19.172，∴这组数据的相关系数是r1＝7.219.172＝0.3755，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U＝15(10＋11.3＋11.8＋12.5＋13)＝11.72，V＝5＋4＋3＋2＋15＝3，i＝15(Ui－U)(Vi－V)＝(10－11.72)×(5－3)＋(11.3－11.72)×(4－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(2－3)＋(13－11.72)×(1－3)＝－7.2，i＝15Ui－U2·i＝15Vi－V2＝19.172.∴这组数据的相关系数是r2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．[点评]计算过了，你会有切身感受，计算量有多大，一个大题也不过如此．应该怎样来解这样的选择题呢？问题是两组数据相关系数的正负及它们大小的比较，再看条件，不难发现变量X与Y正相关，从而r10，变量u与v负相关，从而r20，故r20r1，选C．直接解答可能十分钟也求不出，观察一下十秒钟差不多就了结了．二、填空题715．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的回归方程是________.[答案]y^＝0.575x－14.9[解析]根据公式计算可得b^＝0.575，a^＝－14.9，所以回归直线方程是y^＝0.575x－14.9.三、解答题16．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．[解析](1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x＝15∑5i＝1xi＝109，lxx＝∑5i＝1(xi－x)2＝1570，y＝23.2，lxy＝∑5i＝1(xi－x)(yi－y)＝308.设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝lxylxx＝3081570≈0.1962，a^＝y－b^x＝1.8166.故所求回归直线方程为y^＝0.1962x＋1.8166.(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为y^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．17．(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份201020112012201320148时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y^＝b^t＋a^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y^＝b^t＋a^中，b^＝i＝1ntiyi－ntyi＝1nt2i－nt2，a^＝y－b^t.[分析](1)列表分别计算出t，y，lnt＝i＝1nt2i－nt2，lny＝i＝1ntiyi－nty的值，然后代入b^＝lnylnt求得b^，