02第2章质点和刚体动力学-v4

12质点和刚体动力学介绍质点的位置、位移、速度、加速度等基本概念，给出质点沿直线或曲线运动时的描述方法，介绍动能定理以解决质点动力学问题即力与运动的关系，给出刚体运动学的描述方法以及刚体动力学问题的解决方法。2.1质点运动学2.1.1基本概念质点运动学(kinematicsofparticles)给出了质点的运动描述，即任一时刻质点的位置、速度、加速度的描述方法。（1）位置(position)通过单轴坐标系上的s来定义位置。如图2.1所示，原点O是轴上的固定点，通过这个点，就能用s去定位任意时刻质点的位置。s的大小即为质点到原点O的距离，而位置的方向性可以通过s的代数符号来表示。在图2.1中所示的情况下，对应的位置s为正值。因此，位置是一种既有方向又有大小的矢量。图2.1质点位置图（2）位移(displacement)位移定义为质点位置的改变量。如图2-2所示，当质点从一点移动到另一点时，它的位移可以表述为：Δ=-sss(2.1)2图2.2质点位移图这图2.2所示的情况下，由于质点的终点位置沿s方向在起始位置的右侧，s为正值，同样，如果终点位置在起始位置的左侧，则得到的s就为负值。位移是一个有大小和方向的矢量。位移与质点移动的距离不同，质点移动的距离是对质点在直线上所移动的长度的一种度量。（3）速度(velocity)如果质点在时间间隔Δt内移动的距离为s，那么质点在这段时间间隔内的平均速度为：avgsνt(2.2)当t趋近于无穷小时，平均速度就近似为一个瞬时点，由此可得出瞬时速度v的表达式：0limtsvt(2.3)或者ddsvt(2.4)因为t和dt始终为正值，所以速度的正负是由s或者ds决定。而速度的大小则由速率来表示。（4）加速度(acceleration)如果质点在任意两点处的瞬时速度已知，那么在间隔t内质点的平均加速度定义为：avgvat(2.5)式中v在间隔t内速度的变化量，也即：vvv。与瞬时速度公式相仿，任一时刻的瞬时加速度也可由令t趋于无穷小，v得到：30limtvat(2.6)或者ddvat(2.7)又由式(2.4)瞬时速度的表达式，式(2.7)可以进一步写成如下形式：22ddsat(2.8)通过消去以上公式中的时间变量dt，可以得到位移与速度之间的关系，如下式：ddasvv(2.9)2.1.2质点在空间曲线运动时的一般描述当一个质点沿着曲线路径运动时，所产生的轨迹称为质点的曲线运动(CurvilinearMotion)。以下采用三维直角坐标系描述质点曲线运动的位置、速度和加速度。（1）质点的位置建立如图2-3所示的空间直角坐标系，质点的位置r为xyz=++rjki(2.10)图2.3质点的位置质点与坐标原点的距离为222rxyz(2.11)（2）质点的速度4对质点的位置r求导得到质点的速度v，质点的速度矢量示意图如图2.4所示。dddd()()()ddddxyzttttrvijk(2.12)图2.4质点的速度将式(2.12)中第一项d()dxti单独求导得到ddd()dddxxxtttiii(2.13)由于空间坐标系OXYZ固定，则式(2.13)中ddti为0,同样处理式(2.12)第二、第三项可以简化为ddxyzvvvtrvijk(2.14)其中xyzv=xv=yv=z(2.15)质点速度的大小为222xyzvvvv(2.16)（3）质点的加速度对式(2.14)进行求导得到质点的加速度，加速度如图2.5所示ddxyzaaatvaijk(2.17)质点加速度的大小为222xyzaaaa=(2.18)5图2.5质点的加速度2.2质点动力学质点动力学（kineticsofparticles）用于建立作用于质点上的外力与质点运动参数量之间的关系。2.2.1力和加速度的关系根据牛顿第二定律，可以建立质点动力学基本方程。如下式m=Fa(2.19)其中F——作用力之和(N)；m——质点的质量(kg)；a——质点所产的加速度(m/s)。质点的受力图和加速度图如图2.6所示。在这里，采用平行四边形法则求合力，12RFFFF。图2.6质点的受力和加速度2.2.2惯性坐标系惯性坐标系（Inertialcoordinatesystem）是指满足牛顿定律的坐标系，物体只有在不受6外力或合外力为0的情况下才永远保持匀速直线运动或者静止状态，也就是说物体产生加速度必须有力的作用。质点在惯性参考坐标系中的运动如图2.7所示。图2.7惯性坐标系2.3功、动能、势能与能量守恒原理除了直接采用牛顿第二定律分析质点动力学问题之外，还可以采用动能量守恒原理进行分析。2.3.1力做的功只有质点在所受的外力的方向上产生位移时，质点所受的力才可能做功（TheWorkofaForce）。如图2.8所示，质点在起始位置受到一个竖直向上的力F，该力使质点的位置由r移动到r，那么质点的位移可以写成d=-rrr，进而可以得到力F所做的功为ddUFr(2.20)图2.8质点受力图在外力F的作用下质点由1r移动到2r或者由1s移动到2s，如图2.9所示，则力F所做7的功表述为如下积分形式：221112dcosdsssUFθrrFr(2.21)图2.9变力做功图2.10重力做功对于重力做功的情况，如图2.10所示，物体受到重力W的作用，沿着其运动轨迹s由位置1s移动到2s，在某个中间点，位移可表示为ddddxyz=+rijk。再由重力矢量WWj，可以得到：21211221d()(ddd)d()yyUWxyzWyWyy=+rrFrjijk上式重力做的功还可以表示为如下形式12yUW(2.22)由此可以看出，重力所做的功和质点的运动路径无关，它等于重力的大小和竖直方向位移的乘积。在图2.10所示的情况中，因为重力方向向下，而质点的位移方向向上，重力所做的功为负值。对于弹簧力做功的情况，如图2.11，如果一个弹簧长度被拉长ds，那么作用在拉长点上的弹簧力所做的功为dddsUFskss。由于施加的拉伸力的方向和ds的方向相反，所做的为负功。假若质点位置由1s移动到2s，那么力sF做的功为：822122111()22Uksks(2.23)如图2.12所示的直线sFks下面的阴影区域即为12U。图2.11功的几何表示图2.12弹簧力做功2.3.2动能能量可以定义为做功的能力，如果想让一个质点从静止运动到速度为v，那么就必须有力对它做相应的功。当速度为v时，质点所具有的动能和力做的功是相等的，也就是说，动能是质点做功能力的一种度量。质点动能（KineticEnergyofaparticle）定义为：212Tmv(2.24)式中T——质点所具有的动能(J)；m——质点的质量(kg)；v——质点瞬时速度(m/s)。功和动能的相同之处在于它们都是标量，单位都为J。不同点在于，功有正功和负功之分，而动能始终都不为负值。功能原理（Theprincipleofworkandenergy）的表述为：当质点从起始位置移动到末位置时，质点在起始位置的动能加上作用在质点上的合力做的功的和等于质点的末动能。如下式所示1122TUT(2.25)式中1T——起始动能J；912U——作用在质点上的力所做的功(J)；2T——末动能(J)。功能原理相当于对公式ttmFa两边取积分，再把公式ddtsavv代入即可。对于用牛顿第二第律ttmFa所表述的问题，功能原理提供了另外一种方便的解决方法。因为式(2.25)包含了对质点进行运动分析的各个变量，而当涉及多质点系统时，由于功和能都为标量，可以直接把功和能进行代数相加得到质点系统的动能公式1122TUT(2.26)2.3.3势能如果质点的能量来源于自身所处的位置，大小由选取的固定基准或者参考平面决定，那这种能量就称为势能（PotentialEnergy）。在机械系统中，由重力或者弹簧弹力产生的势能是进行动力学分析时非常重要的对象。（1）重力势能如图2.13所示，当y为向上正值时，质点的重力势能可表示为：gVWy(2.27)（2）弹性势能当弹簧被拉伸或压缩，弹簧产生势能。和重力势能不同，弹性势能始终都为正值，因为不管是拉伸或者压缩，当回到初始位置时，弹力方向和弹簧活动端位移方向始终相同，如图2.14所示。弹簧弹性势能可表示为：212eVks(2.28)式中eV——弹簧弹性势能(J)；k——弹簧弹性系数(N/m)。10图2-13重力势能图2-14弹性势能（3）势能函数如果一个质点同时受到重力和弹力的作用，那么质点所具有的势能V可以用两者求和的一个势能函数表达：geVVV(2.29)V的大小取决于质点自身的位置与相应势能基准之间的位置关系。当质点由一点移动到另一点时，系统中保守力做的功可由下面公式求出：1212UVV(2.30)保守力（conservativeforce）是指，如果一个力所做的功不取决于施力对象的运动路径，仅取决于力的起始位置和末位置，那么就称这种力为保守力。势能衡量的是当把一个质点从指定位置移动到基准位置时保守力所做的功。2.3.4能量守恒定律当一个质点在一个既有保守力又有非保守力做功的系统中运动，保守力做的功可以写成它们势能的差值，由式(2.30)可得：1212cons.UVV(2.31)由此，功能原理公式又可写成：11111222noncons.TVUTV(2.32)在这里，12noncons.U表示非保守力对质点做的功。如果仅有保守力做功，上式简化成：1122TVTV(2.33)上式即为机械能守恒定律或者能量守恒定律。它表述了当仅有保守力做功时，质点的动能和弹性势能总和不变，为了保持总能量不变，消失的动能必须转化为势能，反之亦然。2.4刚体运动的描述方法2.4.1刚体的平动当刚体（rigidbody）运动时，如果刚体内任意一条给定的直线，在运动中保持它的方向不变，这种运动称为平动（Translation）。如图2.15所示，A,B是刚体上任意两点，刚体相对固定坐标系xoy做平动。图2.15刚体的平动刚体的位置为/BABArrr(2.34)式中#/BAr—B点相对于A点的位置矢量。刚体的速度定义为对式(2.34)进行求导得到/d/dBABAtvvr(2.35)由于/BAr的大小和方向都不变，所以/d/d0BAtr，因此BAvv(2.36)刚体的加速度定义为对式(2.36)求导BAaa(2.37)122.4.2刚体绕定轴的转动当刚体绕固定坐标轴回转时，刚体上任意点P做圆周运动，如图2.16所示。为了分析这种运动，首先定义刚体关于定轴的角运动。图2.16刚体绕固定坐标系的转动角位置：如图2.16中所示角的位置定义为从固定参考线到r的角度θ。角位移：角位移是角位置的变化，用dθ表示，这个矢量的幅值为dθ，单位可以是度、弧度或转速，方向用右手螺旋法则确定。角速度：角位置对时间的变化率是角速度ω，角速度的单位通常为rad/s。ddt=θω(2.38)角加速度：角速度对时间的变化率是角加速度，方向取决于ω是增大还是减小，大小为22d=dtθα(2.39)如图2.17所示，由于刚体绕定轴转动，所以P点做以O为圆心r为半径的圆周运动。图2.17刚体上定点绕定轴的转动位置与位移：P点的位置为矢量r，r从圆心O指向点P。如果刚体转过dθ角，P点的位移为ds=rdθ速度：P点速度的大小可用ds=rdθ除以dt求得，方向沿P点的切线方向。13=rvω(2.40)P点速度的大小和方向可由ω叉乘rP得到。rP为轴上任意一点指向点P的向量，如图2.18所示，其方程为p=vωr(2.41)通过右手螺旋法则来确定v的方向，大小为ωrPsinφ,因为r=rPsinφ，所以v=ωr,与方程(2.41)一致。下面将rP换为r,r位于运