(2013春季发行)高三数学第一轮总复习8-4椭圆新人教A版

18-4椭圆基础巩固强化1.(文)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.34[答案]A[解析]由椭圆的定义，d1＋d2＝2a，又由题意得d1＋d2＝4c，∴2a＝4c，∴e＝ca＝12.(理)(2011·浙江五校联考)椭圆x216＋y27＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为()A．32B．16C．8D．4[答案]B[解析]由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.2．(2011·岳阳月考)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21[答案]C[解析]若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.3．(2012·新课标，4)设F1、F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45[答案]C2[解析]本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．设直线x＝3a2与x轴交于点M，则由条件知，∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝3a2－c，故cos60°＝F2MPF2＝32a－c2c＝12，解得ca＝34，故离心率e＝34.[点评]求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a，c所满足的数量关系，从而确定离心率的值．4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，MF1→·MF2→＝0，则M到y轴的距离为()A.233B.263C.33D.3[答案]B[分析]条件MF1→·MF2→＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．[解析]解法1：椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得x24＋3－x2＝1，解得x2＝83，即|x|＝263，此即点M到y轴的距离．解法2：由MF1→·MF2→＝0知，MF1⊥MF2，∴|MF1|＋|MF2|＝4，|MF1|2＋|MF2|2＝－，∴|MF1|＝2＋2，|MF2|＝2－2，由|MF1|2＝t·|F1F2|得t＝3＋263，∴M到y轴的距离为t－3＝263.解法3：设M(x0，y0)，则x204＋y20＝1，3∴y20＝1－x204，①∵MF1→·MF2→＝0，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，又F1(－3，0)，F2(3，0)，∴(x0＋3)2＋y20＋(x0－3)2＋y20＝12，将①代入解得x0＝±263，∴M到y轴的距离为263.[点评]满足MA→·MB→＝0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()A.165B．3C.163D.253[答案]A[解析]F1(0，－3)，F2(0,3)，∵34，∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±165.即点P到y轴的距离是165.5．(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为()A.x2144＋y2128＝1B.x236＋y220＝1C.x232＋y236＝1D.x236＋y232＝1[答案]D4[解析]2a＝12，∴a＝6，∵e＝ca＝13，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.x24＋y23＝1B.x216＋y212＝1C.x24＋y2＝1D.x216＋y24＝1[答案]A[解析]由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，∵e＝ca＝12，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故选A.6．(2011·银川二模)两个正数a、b的等差中项是52，等比中项是6，且ab，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e等于()A.32B.133C.53D.13[答案]C[解析]由题意可知a＋b＝5，a·b＝6，又因为ab，所以解得a＝3，b＝2，所以椭圆的半焦距为c＝5，所以椭圆的离心率e＝ca＝53，故选C.7．(2011·南京模拟)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为________．[答案]535[解析]∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝|PF2||PF1|＝12，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，∴x＝2a3，∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2，∴209a2＝4c2，∴e＝ca＝53.8．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程x23＋y2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案]12[解析]由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k＝1表示椭圆，∴概率P＝12.(理)已知1m＋2n＝1(m0，n0)，则当mn取得最小值时，椭圆x2m2＋y2n2＝1的离心率是________．[答案]32[解析]∵m0，n0∴1＝1m＋2n≥22mn，∴mn≥8，当且仅当1m＝2n，即n＝2m时等号成立，由n＝2m，mn＝8，解得m＝2，n＝4.即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，∴离心率e＝n2－m2n＝32.9．(2011·湖南长沙一中月考)直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C6是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．[答案]2[解析]设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入x22＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±3，两平行直线x－y＝0与x－y＋3＝0的距离d＝62，将y＝x代入x22＋y2＝1中得，x1＝－63，x2＝63，∴|AB|＝1＋1|63－(－63)|＝433，∴S△ABC＝12|AB|·d＝12×433×62＝2.10．(2011·北京文，19)已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．[解析](1)由已知得，c＝22，ca＝63，解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，7所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝32，此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.能力拓展提升11.(2011·河北唐山市二模)P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→·PF2→等于()A．3B.3C．23D．2[答案]D[解析]由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.12．(文)(2011·福建文，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32[答案]A[解析]设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t0)，若Γ为椭圆，则离心率为e＝3t6t＝12，8若Γ为双曲线，则离心率为3t2t＝32.(理)(2011·许昌月考)已知双曲线x2a21－y2b2＝1与椭圆x2a22＋y2b2＝1的离心率互为倒数，其中a10，a2b0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[答案]B[解析]12＝e21e22＝c21a21·c22a22＝a21＋b2a21·a22－b2a22，则a21a22＝a21a22＋(a22－a21)b2－b4，所以a22－a21＝b2，则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形，故选B.13．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．[答案]22[解析]因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以ba＝22，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝12，即e＝22.14．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC→·BC→＝0，|OC→－OB→|＝2|BC→－BA→|，则其焦距为________．[答案]463[解析]由题意可知|OC→|＝|OB→|＝12|BC→|，且a＝2，又∵|OC→－OB→|＝2|BC→－BA→|，∴|BC→|＝2|AC→|.∴|OC→|＝|AC→|.又∵AC→·BC→＝0，∴AC→⊥BC→.∴|OC→|＝|AC→|＝2.9如图，在Rt△AOC中，易求得C(1，－1)，代入椭圆方程得124＋－2b2＝1⇒b2＝43，∴c2＝a2－b2＝4－43＝83.∴c＝263，2c＝463.15．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．[解析](1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，将点P(0,1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0因为直线l