函数对称性、周期性全解析

函数的对称性和奇偶性函数函数对称性、周期性基本知识一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf、、(异号考虑对称))()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简证：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。4、周期性：（1）函数)(xfy满足如下关系系，则Txf2)(的周期为A、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或C、)(1)(1)2(xfxfTxf或)(1)(1)2(xfxfTxf（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数)(xfy满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf即可以得到)(xfy的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根据)2()(Txfxf可以找出其对称中心为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为)0,22(kTT)(zk，根据)2()(Txfxf可以推出对称轴为kTTx2)(zk（以上0T）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以2T为周期的周期性函数。定理3：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理4：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理5：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba4为周期.二、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于X轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。7、函数的轴对称：定理1：如果函数xfy满足xbfxaf，则函数xfy的图象关于直线2bax对称.推论1：如果函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称.推论2：如果函数xfy满足xfxf，则函数xfy的图象关于直线0x（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、函数的点对称：定理2：如果函数xfy满足bxafxaf2，则函数xfy的图象关于点ba,对称.推论3：如果函数xfy满足0xafxaf，则函数xfy的图象关于点0,a对称.推论4：如果函数xfy满足0xfxf，则函数xfy的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、试题1．已知定义为R的函数xf满足4xfxf，且函数xf在区间,2上单调递增.如果212xx，且421xx，则21xfxf的值（A）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.分析：4xfxf形似周期函数4xfxf，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2x代替x，使4xfxf变形为22xfxf.它的特征就是推论3.因此图象关于点0,2对称.xf在区间,2上单调递增，在区间2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242xx，且函数在,2上单调递增，所以124xfxf，又由4xfxf，有1111444)4(xfxfxfxf，21xfxf114xfxf011xfxf.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数()fx是偶函数，且()fx(2)fx.若()fx在区间[1,2]上是减函数，则()fx(B)A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由()(2)fxfx可知()fx图象关于x1对称，即推论1的应用.又因为()fx为偶函数图象关于0x对称，可得到()fx为周期函数且最小正周期为2，结合()fx在区间[1,2]上是减函数，可得如右()fx草图.故选B3.定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（D）A.0B.1C.3D.5分析：()()0fTfT，()()()()2222TTTTfffTf，∴()()022TTff，则n可能为5，选D.4．已知函数xf的图象关于直线2x和4x都对称，且当10x时，xxf.求5.19f的值.分析：由推论1可知，xf的图象关于直线2x对称，即xfxf22，同样，xf满足xfxf44，现由上述的定理3知xf是以4为周期的函数.5.3445.19ff5.3f5.05.04ff，同时还知xf是偶函数，所以5.05.05.0ff.5．39821583214fxfxfxfx，则0f，1f，2f，…，999f中最多有（B）个不同的值.A.165B.177C.183D.199分析：由已知39821583214fxfxfxfx1056fx1760704352fxfxfx.又有39821583214fxfxfxfx1056fx21581056fx11021102105646fxfxfx，于是)(xf有周期352，于是0,1,,999fff能在0,1,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线23x对称，故这些值可以在23,24,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线199x对称，故这些值可以在23,24,,199fff中找到.共有177个.选B.6：已知113xfxx，1fxffx，21fxffx，…，1nnfxffx，则20042f（A）.A.17B.17C.35D.3分析：由113xfxx，知1131xfxx，2131xfxfxx，3fxfx.)(xf为迭代周期函数，故3nfxfx，2004fxfx，20041227ff.选A.7：函数)(xf在R上有定义，且满足)(xf是偶函数，且02005f，1gxfx是奇函数，则2005f的值为.解：11gxfxgxfx，11fxfx，令1yx，则2fyfy，即有20fxfx，令nafx，则20nnaa，其中02005a，10a，20052nnnaii，20052005fa2005200520052ii0.或有2fxfx，得2005200320011999ffff10f.8．设函数))((Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff则)5(f（c）A．0B．1C．25D．5分析：答案为B。先令f（1）=f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，所以，f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。9．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（B）(A)