常系数线性微分方程的解法

1§4.2常系数线性微分方程的解法SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE2§4.1内容回顾).()()()()()(240111xtaxtaxtaxnnnn解的性质与结构。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。♣n阶齐次线性方程的所有解构成一个n维线性空间。§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE3本节要求/Requirements/熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法熟练掌握欧拉方程的求解方法4非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE54.2.1复值函数与复值解/ComplexFunctionandComplexSolution/一定义],[)()()(，battittz],[)()(上的实函数。是定义在，batt极限],[)(lim)(lim)(lim0000，battittztttttt连续],[)()(lim000，battztztt导数0000000ttttitttttttztztt)()(lim)()(lim)()(lim)()()(lim0000000dtdidtddtdztztttztztttttttt§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE6易验证dttdzdttdztztzdtd)()())()((2121dttdzctczdtd)()]([11dttdztztzdttdztztzdtd)()()()())()((212121如],[21)()()(，bat,jtittzjjj))()()()(())()((221121tittitdtdtztzdtd)]}()([)]()({[ttittdtd2121)]()([)]()([ttdtdittdtd2121)()(2211dtdidtddtdidtddttdzdttdz)()(21§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE7二关于kte，共轭复数ik定义titee)sin(costitettiktee)(tie)()sin(costitettitetisincostitetisincosik表示为实变量。，为实数tik,tiktee)(tie)()sin(costitet)sin(costitetkte§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE8kte的性质tkke)(21tke1tke21）ktktkedtde2）ktnnktnekdted3）结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE9三线性方程的复值解/ComplexSolutionofLinearHigher-OrderODE如果定义在],[ba上的实变量的复值函数)(tzx满足方程).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(tzx为方程的一个复值解。则称如果方程4.2中所有系数),,,)((nitai21都是实值函数，而)()()(tittzx是方程的复数解，)(tz的实部)(t，虚部)(t和共轭复数函数)(tz也是方程4.2的解。定理8)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn则§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE10定理9若方程)()()()()(1111tivtuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn有复数解)()(tiVtUx,这里),...,,)((nitai21及)(tv都是实函数。那么这个解的实部)(tu和虚部)(tV分别是方程)()()()(1111tuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn和)()()()(1111tvxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn的解。)(tU§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE114.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程/CoefficientLinearHomogenousHigher-OrderODEAndEulerEquation/0][1111xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn…….(4.19)naaa,...,,21为常数。其中为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。n阶常系数齐次线性方程tex0][111tntntntnteaeaeaeeL0111nnnnaaa)(F…….(4.21)te0)(F满足tetex结论：tex是方程(4.19)的解的充要条件满足0)(F特征方程特征根)(][FeeLtt§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE12下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1)特征根为单根的情况n,,,21是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，tttneee,,,21设则相应的方程（4.19）有如下n个解这n个解在区间t的基本解组。事实上，上线性无关，从而组成方程0111nnnnaaa)(F§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE13tnntntntntttttnnneeeeeeeeetW1121121................................)(2121211121121)(.......................1....1121nnnnntne0tttneee,,,21是方程的基本解组。方程4.19的通解可表示为tnttnecececx2121范德蒙(Vandermonde)行列式ji)(ji§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE14如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成i1对共轭的出现，设i2方程的一个特征根也是一个特征根则方程（4.19）有两个复值解tie)()sin(costitettie)()sin(costitet对应两个实值解tetettsin,cos§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE15例1求方程044xdtxd的通解。解第一步：求特征根01)(4Fi4,32,1,1第二步：求出基本解组,,tteettsin,cos第三步：写出通解tctceectxttsincosc)(4321§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE16例2求方程033xdtxd的通解。解第一步：求特征根01)(3F2321,13,21i第二步：求出基本解组,tetetett2323sin,cos2121第三步：写出通解tectecectxttt2332321sincos)(2121§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE172)特征根有重根的情况m,,,21是特征方程（4.21）的m个互不相等的根。设0][1111xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn…….(4.19)0111nnnnaaa)(F…….(4.21)mkkk,,,21重数1,21imknkkkI.设01是k1重特征根01111kknnnaa0111knnnaaa0111111kkknnnnndtxdadtxdadtxd01kna§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE18显然121,,,,1kttt是方程的k1个线性无关的解，方程(4.19)有k1重零特征根方程恰有k1个线性无关的解121,,,,1ktttII.设01是k1重特征根令tyex10][1111xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn0111111kkknnnnndtxdadtxdadtxd…….(4.19)§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE190)(1)2(2)1(1)(1ybybybybyennnnnt…….(4.23)特征方程)24.4(0)(111nnnnbbbG][1tyeL0][1)2(2)1(1)(1ybybybybyyLnnnnn][1tyeL][11yLettmtmtmtmmtmyeeymmemyeyyex111111)2(21)1(1)()()(!2)1()(§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE20)()(1GF(4.19)的k1重特征根1(4.23)的k1重特征根零11,,2,1,)()(kjddGddFjjjjteF)(11)(][)(1teL][1tteeL][11tteLe)()(1Get][1tyeL][11yLet121011kjFj,,,,)()(011,)()(kF§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE21方程(4.23)恰有k1个线性无关的解121,,,,1kttt由tyex1方程(4.19)恰有k1个线性无关的解tktttetettee1111112,,,,类似地11ktktttetettee1111112,,,,22ktktttetettee2222212,,,,mmktktttmmmmmetettee12,,,,1,21imknkkk基本解组(4.26)§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE22证