材料力学第十二章 超静定结构

12§12–1超静定结构概述§12-4连续梁与三弯矩方程第十二章超静定结构§12–3用力法解超静定结构§12–2弯曲超静定问题3用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为超静定结构或系统，也称为超静定结构或系统。§12–1超静定结构概述在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的超静定次数。4超静定问题分类第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的，可称为外力超静定系统。分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的，可称为内力超静定系统。第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的。5第一类第二类第三类6§12–2弯曲超静定问题1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxy7几何方程——变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、变形等）8几何方程——变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLfffB=例6结构如图，求B点反力。LBCEAxyq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB9=LBCEAxyq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3;834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC10§12–3用力法解超静定结构一、力法的基本思路（举例说明）解：①判定多余约束反力的数目（一个）C2l例1如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。PAB2l(a)PABCX1(b)②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程，见图(b)。110111PXB变形协调方程③用能量法计算和P111XPABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫尔定理可得(图c、d、e)EIPlxxlxPEIllP485d)2(1321EIlXxxxXEIlX3d131011112④求多余约束反力将上述结果代入变形协调方程得04853331EIPlEIlXPX1651⑤求其它约束反力由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。CPAB(f)165P1611P163Pl⑥作弯矩图，见图(g)。(g)+–163Pl325Pl⑦求梁中点的挠度13选取基本静定系(见图(b))作为计算对象。单位载荷如图(h)。PABCX1(b)x1ABC(h)用莫尔定理可得)(7687d)(])2(165[1320EIPlxxPxxlPEIylC注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁。CPAB(i)X114二、力法正则方程上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式01111PXX1——多余未知量；11——在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿X1方向的位移；1P——在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。15对于有无数多余约束反力的超静定系统的正则方程如下：00022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX由位移互等定理知：jiijij：影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；iP：自由项，表示在基本静定系上，由原载荷引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移。16例2试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。qaABa解：①刚架有两个多余约束。②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。qABX1X2③建立力法正则方程0022221211212111PPXXXX④计算系数ij和自由项iP用莫尔定理求得17qABx1x2ABx1x211ABx1x2EIqaxaqxEIaP6d)21(1422201EIqaxxqxEIaP8d)21(14222202EIaxaxxEIaa34)dd(13202102111EIaxxEIa3d13202222EIaxaxEIa2d13202211218⑤求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得0832062344231342313EIqaXEIaXEIaEIqaXEIaXEIa)(73)(28121qaXqaX⑥求其它支反力由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。qABqa73qa281qa74qa2812283qa19三、对称与反对称性质的利用结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。20正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。对称轴X1X2X2X3PX1X3例如：X1X3PX1X3PX2X2PP21例3试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。ABCPPaa解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。PPX1X101111PX用莫尔定理求1P和11。22Px1x2x1x21EIPaxaPxEIaP2d2)(232021EIPaxaxxEIaa127]d)2(d[23222001211102127313EIPaXEIPa则PX761由平衡方程求得：PRRBA76PHHBAPaMMBA74ABPPMBRBHBMARAHA23§12-4连续梁与三弯矩方程为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。一、连续梁与超静定次数012n-1n+1nl1l2lnln+1M1M2Mn-1MnMn+124二、三弯矩方程连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1、M2、…Mn-1、Mn、…作为多余约束力(见上图)，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。25如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，由于是连续梁，挠曲线在n支座处光滑连续,则变形协调条件为:右左nnn-1n+1nlnln+1Mn+1Mn11wnwn+1anbn+1Mn-1Mn-1Mnn-1nn+1nMn+1261nwnanMn-1n-1lnMn1.求n左:(可查表,再用叠加法;也可用图乘法或莫尔积分):,得代入右左nnnnnnnnnnnnlaEIEIlMEIlMw1361左Mn+11wn+1bn+1Mnn+1nln+12.求n右:111111111163nnnnnnnnnnnlbEIEIlMEIlMw右27111111111166)(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnlIblIaIlMIlIlMIlMww三弯矩方程对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程.所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就是等于超静定的次数。而且每一个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。如各跨截面相同,即In=In+1,则三弯矩方程简化为:111111166)(2nnnnnnnnnnnnnlblalMllMlMww28例4试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。ABCqP=qlll/2l/2解：AC梁总共有二跨，跨长l1=l2=l。中间支座编号应取为1，即n=1。由于已知0，2两支座上无弯矩，故;001MMn;1BnMMM021MMn(a)ABCqP=qlMB(b)298;1232131qlqlnnnnnnlblaABCqP=qlw1w282ql42ql(c)由图(c)和(d)图得：1ABC1(d)代入三弯矩方程可得)2182112(60)(20331qlqlllM解得21325qlM(方向与图(b)所示相反)30++–(e)2325ql26411ql将图(d)中的单位弯矩图乘以便得到MB在简支梁上产生的M图，再与载荷引起的M图(c)相加，就得到梁AC的图，见图(e)。2325ql31