同济大学2009-2010年电磁场与电磁波期中练习(有答案)

一、一平行板电容器，板间距离为d，介质为空气，忽略边缘效应。求：若如图一所示，插入一块εr=4的介质，试计算电容器中的E、D有无变化，板间电压有无变化？若如图二所示，插入介质，同样计算电容器中的E、D有无变化，极板上的电荷量有无变化。解答：设极板面积为S对图一，插入介质前后极板上的电荷不变1.插入介质前，利用高斯定律计算得SqD=2.插入介质后有边界条件即nnDD21=DDD==21，那么极板间的电位差，作为电场强度的函数可以写成1010101333UdDdDdDr=⋅+⋅+⋅εεεε，即：UdDdDU4343430011=⋅⋅=⋅⋅=εε可以看到插入介质后，极板之间的电压变小了，这主要是由于在介质中的电场强度下降了。介质中的电场强度EDE414102=⋅=εD是不发生变化的，所以，我们只要被介质的介电常数除，就可以得到介质中的电场强度。所以，得出这样的结论，插入介质后不变，但是极板间电压降低了，只有插入前的，相应地，介质中的电场强度减弱了，但是其余部分的不变。DDE3/4E4/12=E图二中的电压是维持不变的，即插入介质前、后极板间的电位不变1.插入介质前，在没有介质存在的情况下，直接可以通过电场作功获得电动势的方法，可以得到E的数值，进而得出此时的电位移，即dUE0=，dUED000εε==，利用高斯定律可以计算出极板上所带的电量为DSq=2.插入介质后，边界条件成立，同时由于没有切向分量，所以。插入介质后，极板间的电位差不变，所通过电场作功获得电位差的公式可以写成：nnDD21=D21DD=0010101333UdDdDdDr=⋅+⋅+⋅εεεε那么经过简单计算得到DdUDUdD343443001001==⇒=εε在d31的空气中，EdUDE34340011===ε，即在左右两侧的电场强度增加了。在d31的介质中，EdUDErr31340022===εεε，即在介质中的电场强度减少了。这样才能维持极板间的电位差不变。极板上的电荷量可以通过高斯定律来计算：qDSSDq343411==⋅=二、半径为、b的两个同轴圆柱导体的电位分别为a0,0Uba==φφ，导体间两种介质与的分界面与轴平面重合。应用边值问题求解介质内的电位分布；求单位长度的电容。1ε2ε解答：1.对此问题建立圆柱坐标系，电位ϕ只与r有关需要求解拉普拉斯方差02=∇ϕ在圆柱坐标系中0)(1=∂∂∂∂rrrrϕ得出的通解具有如下的形式：21lnCrC+=ϕ利用边界条件⎩⎨⎧====brUar,,00ϕϕ计算得：,ln01abUC=abUaClnln02⋅−=于是：arabUabUarabUlnlnlnlnlnln000=⋅−=ϕ方法二：先利用高斯定律，求出电场强度qDDrqdSDS=+⇒=⋅∫)(21π又由于111EDε=，121EDε=，且21EE=，代入上式后得：)(21εεπ+=rqE于是arqdrrqEdrrraraln)()()(2121εεπεεπϕ+=+==∫∫由边界条件0)(Ub=ϕ，可知，abUqUabqln)(ln)(021021=+=+εεπεεπ代入得到相同的结果：arabUrlnln)(0=ϕ2.现在来求单位长度的电容。根据ϕ−∇=Ev，求得raabrUEvvln0=电场强度在边界上的切向分量连续，所以此问题的边界条件为EEE==21。利用高斯定律，可以计算出单位长度圆柱内表面的电荷为)(lnlnln21002012121εεππεπεπεπεππ+=+=+=+=abUaabaUaabaUaEaEaDaDq则单位长度同轴圆柱导体的电容为abUqCln)(210εεπ+==。这个结果可以在第二种方法中的边界条件0)(Ub=ϕ中直接得出。三、如图所示平行板电容器，其极板面积远大于它们之间的距离，在电容器极板之间均匀分布有电荷体密度ddx2/0ρ，两极板用导线短接并接地。介质的介电常数为0ε，忽略边缘效应。求极板间的电位分布、电场强度、极板上的电荷密度。解答：1.极板间电位分布满足泊松方程02ερϕ−=∇对于该题目，泊松方程可以写为dxdxd00222ερϕ−=该方程的解具有如下形式：2103012CxCdx++−=ερϕ利用边界条件，⎩⎨⎧====dxx,00,0ϕϕ来求常数的具体数值：解得0,122001==CdCερ于是电位分布可以写成：xddx000301212ερερϕ+−=接下来求电场强度，根据ϕ−∇=Ev，求得xaddxEvv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=00020124ερερ利用导体和介质边界上电场强度和表面电荷密度的关系，对0=x的极板（由导体指向介质）12120000101ddEsρερεερ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==同样对于的极板（由介质指向导体，由于导体中的电场强度为零，所以下式中有负号的存在）dx=6124000000202dddEsρερερεερ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−=四、如图所示的半无限大导体槽，底面保持电位U，其余两面电位为零，求槽内电位的通解。解：我们需要求解该静电场的位函数，槽内电位满足二维拉普拉斯方程，0),(22222=∂∂+∂∂=∇yxyxϕϕϕ其边值条件为⎪⎩⎪⎨⎧=∞→===)3()0,()2()(0),()1(0),(),0(0Uxyyxyayϕϕϕϕ由边界条件（1）和（2），可以写出位函数的通解：)sin(),(1xaneAyxyannnπϕπ−∞=∑=由边界条件（3）能够得到：)sin(10xanAUnnπ∑∞==，对此式两边同乘)sin(xanπ，并对x从积分得：a→0⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==−==∫6.4.205.3.14)cos1(2)sin(20000nnnUnnUdxxanaUAanππππ则)sin(14),(5.3.10xanenUyxyannππϕπ−∞=∑=五、一个具有两层介质的平行板电容器，极板面积为A，极间距离为。极板间介质分布见图（1）和（2），介质的参数为d1σ、1ε和2σ、2ε。当外加电压为U时，分别求：通过电容器的总电流；电容器的电阻；分界面上的电荷密度。解：先考虑介质间的边界上的常量对图（1）电场强度的切向分量在边界上连续，即ttEE21=。极板间的电场强度只有垂直于极板的分量，所以根据前述的边界条件，我们得到dUEEE===21通过电容器的总电流)(2222221221121σσσσ+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=AdUAEAEAJAJI电容器的电阻：)(221σσ+==AdIUR分界面上的电荷密度由于电场在交界面上没有法向的分量，所以0=Sρ对图（2），考虑恒定电流场的边界条件，即电流密度在交界面上的法向上连续，可得，同时极板间没有横向流动的电流，所以nnJJ21=JJJ==21。于是根据极板间的电压和电场强度之间的关系，可以计算得：)11(222212211σσσσ+=⇒⋅+⋅=dUJdJdJU通过电容器的总电流为)11(221σσ+=⋅=dUAAJI电阻为：)11(221σσ+==AdIUR介质交界面上的电荷密度为：)()(2)(1221211122112212εσεσσσσεσεεερ−+=−=−=−=dUJEEDDnnS六、一平行板电容器，极板面积,两板相距2cm800=Scm5.0=d，两板中间的一半厚度为玻璃所占，另一半为空气。已知玻璃的77=ε，其击穿电场强度为60kV/cm，空气的击穿场强为30kV/cm，当电容器接到16kV的电源上，会不会被击穿？为什么？解答：根据边界条件，二介质中电通密度的法向分量相同nnDD21=，可得出nnEE127=由∫⋅=ldEVvv，故∫∫+=0050.00025.010025.002dxEdxEVnn可以计算得31210160025.00025.0×=×+×nnEE求得：cmkVEEcmkVmVEnnn/567/8/1082152===×=cmkVEcmkVEnn/30,/6012，故空气被击穿。当空气被击穿后，电压直接加在玻璃二端故cmkVEn/321016005.032⇒×=×因为，故玻璃不会被击穿cmkVcmkV/60/32七、两半径均为，平行放置的长直圆柱导体，轴线间距离为a)2(add。现将相交部分挖成一空洞，并且在相交处用绝缘纸隔开。设两导体分别通有体密度为和zeJJvv01=zeJJvv)(02−=的电流。求空洞中的磁场强度。解答：方法一：对两个圆柱分别建立圆柱坐标系，由安培环路定律IldH=⋅∫vv得：021112JrrHππ=⋅即：,2011JrH=加入方向：10112ϕaJrHvv=同理2022JrH−=，即20222ϕaJrHvv−=综合的磁场强度：)2(220210121ϕϕaJraJrHHHvvvvv−+=+=将1111rraaaazrzvvvvv×=×=ϕ和2222rraaaazrzvvvvv×=×=ϕ代入表达式中，得yxzzadJadaJrraJHvvvvvvv22)(200210=×=−×=方法二：已知21HHHvvv+=又知22112211coscossinsinθθθθHHHHHHyx+⋅=−⋅=其中222211112cos,sin,2cos,sinrxdryrxdry−==+==θθθθ代入可得2,00dJHHyx==