高中数学三角函数疑点难点讲解

高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审视】1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5、掌握)sin(xAy等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、概念不清例1．若、为第三象限角，且，则（）（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D）以上都不对错解选（A）分析：角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(区间角。如取34,672，可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。二、以偏概全例2．已知msin，求cos的值及相应的取值范围。错解当是第一、四象限时，21cosm，当是第二、三象限时，21cosm。分析：把限制为象限角时，只考虑1||m且0m的情形，遗漏了界限角。应补充：当1||m时，0cos),(2Zkk；当0m时，1cos),(Zkk，或1cos。三、忽略隐含条件例3．若01cossinxx，求x的取值范围。错解移项得1cossinxx，两边平方得)(222,02sinZkkxkx那么即)(2Zkkxk分析：忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了1cossinxx。正解：1cossinxx即1)4sin(2x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk∴)(222Zkkxk四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．设、为锐角，且+120，讨论函数22coscosy的最值。错解)cos(211)cos()cos(1)2cos2(cos211y可见，当1)cos(时，23maxy；当1)cos(时，21miny。分析：由已知得90,30，∴6060，则1)cos(21∴当1)cos(，即60时，21miny，最大值不存在。五、忽视应用均值不等式的条件例5．求函数)20,0(sincos2222xbaxbxay的最小值。错解)12sin0(42sin4cossin2sincos)2()1(2222xabxabxxabxbxay∴当12sinx时，aby4min分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解：2222222222222)(2)cottan()cot1()tan1(baabbaxbxabaxbxay当且仅当xbxacottan，即abxtan，时，2min)(bay专题四：三角函数【经典题例】例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）（A）)23,21(（B）)21,23(（C）)23,21(（D）)21,23([思路分析]记POQ，由三角函数定义可知Q点的坐标),(yx满足sin,cosryrx，故选（A）[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。例2：求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值.[思路分析])(xf212sin41)cossin1(21)cossin1(2cossin122xxxxxxx所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。例3：已知)2,4(,41)24sin()24sin(，1cottansin22求的值.[思路分析]∵)24cos()24sin()24sin()24sin(,4cos21)42sin(21∴得.214cos又.125),2,4(所以于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222.325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos[简要评述]此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。例4：已知b、c是实数，函数f(x)=cbxx2对任意α、βR有：,0)(sinf且,0)cos2(f（1）求f（1）的值；（2）证明：c3；（3）设)(sinf的最大值为10，求f（x）。[思路分析]（1）令α=2，得,0)1(f令β=，得,0)1(f因此,0)1(f；（2）证明：由已知，当11x时，,0)(xf当31x时，,0)(xf通过数形结合的方法可得：,0)3(f化简得c3；（3）由上述可知，[-1，1]是)(xf的减区间，那么,10)1(f又,0)1(f联立方程组可得4,5cb,所以45)(2xxxf[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数)43sin(log21xy的单调递增区间是Zkkxk]348328[；（2）若函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a的值是1；（3）把函数)43sin(xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8sin(xy；（4）若函数)2||,0,0()sin(ABxAy的最大值是22，最小值是2，最小正周期是32，图象经过点（0，-42），则函数的解析式子是22)63sin(223xy；[思路分析]略[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。例6：函数xxxxfcossin12sin)(（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。[思路分析]（1）{x|x222kxk且}Zk(2)设t=sinx+cosx,则y=t-142,12maxkxyZk[简要评述]若)(xf关于xxcossin与xxcossin的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令xxtcossin，使问题得到简化。例7：在ΔABC中，已知BACCAsin232cossin2cossin22（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。[思路分析]（1）条件等式降次化简得bcaBCA2sin2sinsin（2）,2182682)(32)2(cos22222acacacacaccaaccacaBABCD∴……，得B的取值范围]3,0([简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？[思路分析]CD=cothhS,C=)cotsin2(hhS,转化为考虑y=sincos2的最小值，可得当3时，y最小，即C最小。[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。【热身冲刺】一、选择题：1．若100a，则满足asin=0.5的角a的个数是（C）（A）2（B）3（C）4（D）52．为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（B）（A）向右平移6个单位长度（B）向右平移3个单位长度（C）向左平移6个单位长度（D）向左平移3个单位长度3．已知函数,sin)(xxf，则下面三个命题中：（1）0)4()1(ff；（2）0)43()2(ff；（3）0)43()3(ff；其中正确的命题共有（B）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4．若)(xf是奇函数，且当x0时，xxxfsin)(2，则当xR时，)(xf为(C)（A）xxsin2（B）xxsin2（C）|x|xxsin（D）|x|xxsin5．函数)3sin()3cos(3)(xxxf是奇函数，则等于（D）（A）k（B）6k（C）3k（D）3k6．如果圆222kyx至少覆盖函数kxxfsin3)(的一个最大值点和一个最小值点，则k的取值范围是（B）（A）3||k（B）2||k（C）1||k（D）2||1k7．若x∈[5,123]，则y＝2tan()tan()cos()366xxx的最大值是（C）（A）1225（B）1126（C）1136（D）12358．．函数xxycos2sin2在区间[],32a上的最小值为-41，则a的取值为（C）（A）[),32（B）[0，]32（C）[]32,32（D）]34,32(9．若△ABC面积S=)(41222cba则∠C=（C）（A）2（B）3（C）4（D）610．已知向量),1,0(),,2(),sin2,cos2(ba则a与b的夹角为（A）（A）23（B）2（C）2（D）二、填空题：11．若)(xf是以5为周期的奇函数，)3(f=4,且cos21，则)2cos4(f=-4.12．函数y=lg(sinxcosx)的增区间是Zkkk]4,(13．用][x表示不超过实数x的最大整数。则]2000[sin]30[sin]20[sin]10[sin=-81。14．设sincosx，且0cossin33，则x的取值范围是]2,0(；三、解答题：15．（文）求函数)3tan3lg(sin22xxy的定义域。答案：Zkkkkk)232,672(]42,62(（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何Rx，都有)3(xf）=)1(xf，设M=f[arcsin(sin4)]，N=f[arcos(cos4)]，讨论M和N的大小。答案：MN16．在锐角三角形ABC中，.51)sin(,53)sin(BABA（Ⅰ）求证BAtan2tan；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.略解（Ⅰ）证明：.2tantan51sincos,52cossin.51sincosco