直线与圆锥曲线(一)

1直线与圆锥曲线（一）（14—2）编制人：闵小梅审核人：王志刚【使用说明及学法指导】1．完成预习案中的相关问题；2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。【学习目标】1．掌握解决直线与圆锥曲线的位置关系的思想方法。2．理解数形结合的思想。【重点】直线与圆锥曲线的位置关系。【难点】解决直线与圆锥曲线的位置关系的思想方法。【预习案】一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ0⇔直线与圆锥曲线．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝1＋1k2|y2－y1|.二、尝试练习1．直线y＝k(x－1)＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定22．(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．123．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．4．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．【我的思考与疑惑】【探究案】一、合作探究例1.已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．二、拓展探究例2．已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，点P－1，22在椭圆上，且PF1→·F1F2→＝0，直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA→·OB→＝23时，求k的值．3三、深层探究（供南山班选用）例3.过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程．(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？并说明理由．【训练案】1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条2．过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B．23C．6D．433．已知直线y＝22(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若MA→·MB→＝0，则m＝()A.2B.22C.12D．04．已知抛物线y2＝2px(p0)与直线ax＋y－4＝0交于A，B两点，其中A点坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于()A．5B．6C．35D．75．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x218＋y29＝1B.x227＋y218＝1C.x236＋y227＝1D.x245＋y236＝16．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．7．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．48．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．9．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．10．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若|AB|＝8，求线段AB的垂直平分线l′的方程．11．（选做）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．5尝试练习：1.A解析：直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2.B解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴椭圆中c＝2，又ca＝12，∴a＝4，b2＝12，从而椭圆方程为x216＋y212＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.3.16解析：直线l的方程为y＝3x＋1，由y＝3x＋1，x2＝4y，得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.4.x－y－1＝0解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝2x1，y22＝2x2，两式相减得y21－y22＝2(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.例1.解：(1)由已知得c＝22，ca＝63.解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由y＝x＋m，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.例2.解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，所以c＝1.把点P的坐标代入椭圆方程，得1a2＋12b2＝1，又因为a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1.所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.6(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，则|m|k2＋1＝1，即m2＝k2＋1.由x22＋y2＝1，y＝kx＋m得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－21＋2k2＝2k21＋2k2，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝1－k21＋2k2，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝1＋k21＋2k2＝23，所以k＝±1.例3.解：(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－p2的距离，所以1＋p2＝2，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的焦点为F(0，1)，直线l的方程y＝2x＋1，设点A、B、M的坐标分别为x1，x214、x2，x224、x0，x204，由方程组x2＝4y，y＝2x＋1，消去y得：x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.因为MA⊥MB，所以MA→·MB→＝0，所以(x1－x0)(x2－x0)＋x214－x204x224－x204＝0，所以(x1－x0)(x2－x0)＋116(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.因为M不与A，B重合，所以(x1－x0)(x2－x0)≠0，所以1＋116(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x20＋16＝0，所以x20＋8x0＋12＝0，因为Δ＝64－48＞0，所以方程x20＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.训练案1.答案：B解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝32p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2.答案：D解析：由题意知，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.73.答案：B解析：由y＝22（x－1），y2＝4x，得A(2，22)，B(12，－2)，又∵M(－1，m)且MA→·MB→＝0，∴2m2－22m＋1＝0，解得m＝22.4.答案：D解析：把点A坐标(1，2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，由y2＝4x，2x＋y－4＝0，消去y得x2－5x＋4＝0，则xA＋xB＝5.由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7.5.答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1.②∴y1－y2x1－x2＝－b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝b2a2.又kAB＝0－（－1）3－1＝12，∴b2a2＝12，∴a2＝2b2.∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝32，∴椭圆的方程为x218＋y29＝1.6.答案：m≥1，且m≠5解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，由题意知m0，m≠5，m≥1，∴m≥1，且m≠5.7.答案：2＋3解析：不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)．故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简得e＝ca＝2＋3.8.答案：94解析：由y2＝3x知焦点F34，0，∴直线AB的方程为y＝33x－34.代入y2＝3x，消去x，得4y2－123y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝33，y1y2＝－94.因此S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×34（y1＋y2）2－4y1y2＝94.9.答案：228解析：由双曲线的性质知所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝12＝22.10.解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．