十一章振动_简谐振动

戴海涛教学安排教学时间：4-20周，共17周国庆节起码放假一次课。期中考试一次课。教学内容：振动波动期中光学量子物理前言振动和波动（真实的物理世界）所有运动都是振动Stringtheory:Theoryofeverything(万物之理)Theoryofanything(任意之理)Everythingornothing?Wherestringtheorystandstoday弦理的根本问题是它很难或不可能得到实验证明PeterWoit(Princeton)弦论根本不是理论Notevenwrong!简直比错还差！前言振动和波动的描述矢量矢量的特性大小方向满足加法交换律矢量的操作（右手定则）叠加或者合成分解振动(Vibration,Oscillation)第十一章振动简谐振动阻尼振动受迫振动共振简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成相互垂直方向的简谐振动的合成11-1简谐振动振动:有规律的运动?机械振动:在一定的位置附近所作的来回往复的运动电磁振荡:谁在运动?简谐振动(simpleharmonicoscillation)按照余弦或者正弦函数规律振动为什么要研究余弦或者正弦形式的振动呢?振动的分解复杂的振动如何来研究?根据物理研究的思路,复杂可以分解成简单的来研究复杂的周期运动可以分解成简单的么?傅立叶变换(三角级数展开)对比幂级数展开(或者麦克劳林,泰勒展开)三角函数也是正交完备集用不同频率的三角函数可以展开各种周期性的函数(运动)简谐振动是最基本的振动,复杂的振动可以用简谐振动来合成研究的思想首先研究简单的模型从简单的模型拓展至复杂的模型力学:质点,质点系,刚体电磁学:真空中的静电场→介质中的静电场→变化的电场→电磁波研究简谐波的意义简谐振动可以通过线性叠加的方式构成复杂的振动简谐振动的特征及其表示简谐运动(SimpleharmonicmotionSHM)的特征以弹簧振子为例:常系数二阶齐次常微分方程求解初始条件:t=0,x=x0,t=0,v=v0;22220FkxdxkxdxdtmFmdt简谐振动的表示简谐振动的运动方程表示:0cosxAt0022002sinsincoscosmmdxvAtvtdtdxaAtatdt=km简谐振动的表示初始条件:t=0,x=x0,t=0,v=v0初始相位的确定:因为在一个周期内有两个正切值相等的角度,因此最终初位相的决定还需要代入初始条件的表达式中求出角度0220000200000cossinarctanxxvxAAxdxvAvdtx简谐振动定义:物理量随时间按正弦或余弦规律变化的过程。0cosxAt0cos2xAft02cosxAtT描述简谐振动量振幅:A,简谐振动的物理离开平衡位置的最大位移的绝对值周期和频率:位相和初相:位相差:位相的超前和落后:0cosxAt11012202coscosxAtxAt02010201tt020120;,x振动超前于第一个振动反之则落后描述简谐振动的几个物理量从上述可知,只要简谐振动的频率,振幅和初位相确定则简谐振动就确定了所以求解简谐振动就是求解这几个物理量初始条件已知,根据A,以及φ0和初始条件之间的关系可以得到振幅和初位相(初位相的确定还需要考虑速度和位移的关系)根据振子所受到的恢复力的表达式,求解振动的频率,或者根据振动图形的表示确定振动的频率.简谐振动的表示方法矢量图解方法)cos(tAx匀速旋转的矢量A在x轴上的投影作简谐振动简谐振动的复数表示方法简谐振动也可以用复数表示复数的实部可以表示简谐振动简谐振动的叠加也可以看做复数相加cossiniei欧拉公式例题沿x轴作简谐振动的物体,振幅A=0.12m,周期T=2s,当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正方向运动(1)求此简谐振动的表达式;(2)t=T/4时物体的位置,速度和加速度(3)物体从x=-0.06m向x轴负方向运动,第一次回到平衡位置所需要的时间cos0.120.12cos22xAtAxtTT0,0.06cos0.530,0sin030.12cos3txtvxt2220.12cos0.51/30.0630.12cos30.12sin0.51/30.06/0.12cos0.51/30.063/4xmxtvmsTtams1111220.061cos2233253233063:32xttttttsvt平衡位置处的位相为几种常见的简谐振动恢复力的形式类似于f=-kx形式的运动都满足简谐振动的规律,f称为准弹性力单摆复摆单摆小角度近似恢复力的表达式小角近似不满足时,将sin函数展开代入,利用微扰的方法求解复摆回复力矩的表达式小角度近似运动方程周期和圆频率上节课回顾一切运动皆是振动振动可分解为不同频率简谐振动所以我们要研究简谐振动简谐振动的数学内容微分方程（方程的推导）运动方程（三要素，重点是初位相）简谐振动的描述振动曲线矢量圆分解复数法𝐴=𝑥02+𝑣02𝜔2𝜙0=arctan−𝑣0𝜔𝑥0简谐振动的能量势能和动能:22202222011cos2211sin22pkEkxkAtEmvmAt2222200211cossin2212pkEEEkAtmAtEkAkm0运动方程的推导受力分析→回复力表达式→牛顿第二定律(动力学方程)→运动方程能量关系→动力学方程→运动方程由能量关系推导振动方程能量关系222221111122222kpEEEmvkxdxEmkxkAdxdtvdt两边同时对时间求一阶导数:222200dxdxdxdxmkxmkxdtdtdtdt此正是振动的方程222111222dxmkxkAdt222222222dxdxdxxAAxdtdtdtAx0110220sinsinxtxxdxxdttAAAx10sinsinxAtxA35例.已知：U形管内液体质量为m，密度为，管的截面积为S。有一定的高度差，试判断液体柱振动的性质。忽略管壁和液体间的摩擦。开始时，造成管两边液柱面2p21)(kyygSyE无损耗.constESHM角频率mSgmk2EP=0Syy-y0gSk2解法1.分析能量36解法2.分析受力（压强差）ky令.const2gSkSHM角频率mSgmk2Syy-y0恢复力gSyF237例.稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动20220dd21dd)0()(xxExxEExEpppp0dd,0dd0220xExEpp在x=0附近将势能展开对微振动，可只取到x2项，且取Ep(0)=0mfxxEp0fx证明：3822202022011()220pppppxEExxkxxEkxEEfxkxxxdddddddd则有即，稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。微振动例：原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格格点的振动等。39例.光滑平面上两弹簧和小球在y方向微振动，求振动频率。a0-自然长度a-平衡长度y-位移aaa0a0yy0km势能：20222022212aaykaaykyEp40maakmkaakkaakayaakyEayakyyEypyp000023222002202200121201212dd012dd体系体系体系＝＝简谐振动的判定受力:f=-kxf弹性力或者准弹性力k劲度系数微分方程能量特征:E=Const.Ep=Ek=1/4kA2∝A2只要满足上述三个条件中的一个就可以判定为简谐振动0dd222xtx