同济版高等数学上册复习资料

高等数学(上)总复习第一部分复习的重点及题型分析第二部分高等数学(上)方法综述第一部分复习的重点及题型分析复习重点三个基本计算—极限,导数,积分两个基本应用—导数应用,积分应用一个基本理论—有关中值的定理及应用一.三个基本计算(约70%)1.极限的计算(约24%)主要题型(1)利用基本方法求极限函数的连续性;四则运算法则;极限存在准则;两个重要极限;等价无穷小替换;洛必塔法则.(2)利用特殊方法求极限导数定义;定积分定义;微分中值定理;变限积分求导;讨论左右极限.(3)无穷小量的比较例题分析例1.计算解:0112lim21xxxx解:利用等价关系例2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,计算xxfxxx23lim0原式9)2(3f解:nnnn1212limnnn1221lim原式化为指数形式,利用uu~)1ln(e122limnnne例3.计算解:222)()2()1(limnnnnnnnInnInknkn1)1(1lim12102)1(dxx0111x21例4.计算例5.计算1000102limxexx21xtttet500lim原式tte!500lim0解:令例6.计算解:令)]1ln([lim12xxxxxt1)1ln(11lim20tttt原式20)1ln(limttttttt21lim110)1(2lim0tttt21例7.计算解:利用等价无穷小xx2lim0原式24xx20421limxx41xxxeln111lim原式))1(1ln(111limxxxe1e)1(111limxxxe例8.计算解:23)1(1lim20tttt例9.求21arcsin2limxxxx0解:令,1xt则原式=ttt21120arcsinlim洛1例10.计算解:xxxeexxxcossinlimtan0直接用洛必塔法则不方便xxxeexxxxcossin)1(limtan0原式利用等价无穷小xxexxtanlim0xcos1xxtan例11.计算解:利用微分中值定理)0(1arctanarctanlim2ananann111lim22nanann原式)1(之间与在nana)1(11lim22nnnana例12.计算解:200sindcoslim2xxxxx200dcoslimxxtt原式2x洛20coslimxxx2x21这是积分变量例13.求xxxtttttan0sin00dsindtanlim00原式=xxxxx20sectansincossintanlim洛xsintanxsin~x~xtansinxtan~x~xxx0lim1利用等价无穷小解:例14.已知解:1dsin1limsin0220xxttbtxxa0limxxbx22sinsinxcos1cosxa对所给等式左边用洛必塔法则,得)1cos(lim00xax1a1a再利用,~1cos221xx,~sin22xx可知22120lim1xxxxbx2sincosb24b求a,b.12.导数和微分的计算(约18%)主要题型(1)计算复合函数的导数和微分;(2)计算隐函数的导数和微分;(3)参数方程求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求特殊点的导数值;(5)计算n阶导数.(包括对数微分法)例题分析例1.已知解法1.,1xyeey1xyyeeyyey)1(1yeeyyx,10yx得由210ddxxy等式两边对x求导,得.0ddxxy求故解法2.等式两边取对数,得1lnxyy11yyy两边对x求导,得yyy1,10yx得由210ddxxy故例2.已知解：两边取对数，得yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb例3.证明下述函数在x=0连续且可导证:因为)(xf)(lim0xfx210limxex0)0(f0)0()(lim0xfxfxxexx210lim2limttet00,00,21xxex又)(xf在x=0连续且可导.思考:若函数改为)(xf0,00,1xxex是否有同样的结论?xt1令例4.已知解:xyddyx)1ln(2ttxtyarctan22ddxytyd)(dx,求.dd,dd22xyxy例5.设.,)10(1111lnyxxxxxy求解:ln原式xx21222xxln)11ln(2y2111x2122xxx1xxxx11122231sinarcsindddd2xxxy例6.设解:23dduuvvarcsinddxx1cos1sin221xx14sin11ww2sinddxx1dd,23uy,sin2wvxw1),arcsin(vu.dd,1sinarcsin232xyxy求211sinarcsin232x例7.设,lntytx求.ddnnxy解:ddxy1tt1tdd22xy12tt1t2txynnndd例8.求解:方法1.xxexexf)(xex)1(xexf)(xex)1(xex)2()1(2xex)1(利用归纳法可证xnexxf)()1()()(nn方法2.利用莱布尼兹求导公式vuvunn)()(vunn)1(vunnn)2(!2)1()(nvu)1()(nxnxenexxnex)1(xnen1)1(xnenx)()1(的n阶导数.例9.设,11xxy求.)(ny解:121xy1)1(21x2)1()1(2xy3)1()2()1(2xy)1()()1()()2()1(2nnxny1)1(!)1(2nnxn3.不定积分与定积分的计算(约28%)主要题型(1)利用基本积分方法计算不定积分;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分;(4)广义积分的计算及收敛性判别.例题分析例1.求解:令,xet)1(d22ttt原式tttd)1(22)1(2t2tt1原式令,2xtttdsin4204例2.求解:CtarctanCeexxarctan22143443例3.求.d)1()2ln(2xxx解:原式=)2ln(x)11(dx)2ln(11xx)1)(2(dxxx)2ln(11xxxxxd2111)2ln(11xxCxx21ln例4.求解:.d3ln31xxxxxdln3231原式32xxxd313ln220234dxxx13lnxx例5.讨论积分解:20)3)(1(dxxx原式xxxd11312120023ln21xxxxxd11d11212110x232133443ln2的敛散性.发散可见原积分发散.例6.求解:.d12arctan2211xxxx,sintx再令奇函数偶函数xxd14102原式ttdcos4202例7.已知解:对所给等式两边求导,得,arcsind)(Cxxxfx211)(xxfxxxxxfxd1)(d2求.)(dxfxCx232)1(31利用“偶倍奇零”,得例8.设)(xf0,11xx0,11xxe,求20d)1(xxf(P270题13)解:令,1xt则20d)1(xxf11d)(ttf01d11tet10d11tt01)]1ln([tet10)1ln(t)1ln(e例9.已知解:由已知条件得,dsin)(0tttxfx,0)0(fxxxfsin)(.d)(0xxf0)(xfxxxfxd)(0xxxdsin0xxxxdsin0xxxxdsin)(00cosx求xxfd)(02022)tan1(xxd20例10.求解:xxxdsin10xxfsin11)(sin00d)(sin2d)(sinxxfxxfxxxdsin1120原式222)cos(sinxx2222cossinxxxxxd)tan1(tan1202222)tan1d(2x0tan112x利用P248例6(2),即xxxd)tan1(sec202222例11.利用递推公式计算下列广义积分0dxexIxnn解:0dxnnexI01d0xexnexxnxn01dxexnxn1nIn00dxeIx0xe10!InIn!n(P260题3)二.两个基本应用(约24%)1.导数的应用(约16%)主要题型(1)导数的几何应用(2)利用导数研究函数形态(3)求解最值问题(4)利用导数证明恒等式(5)利用单调性证明不等式例1.设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数的图形为.(2001考研))(A)(B)(C)(D提示:)(xf)(xf在某区间I内可导,则在I内0)(xfx是)(xf的极值点0)(xfD例题分析]ln)1ln([)()(1xxxfxf例2.证明在上单调增加.证:)1ln()(ln1xxxf]ln)1ln([xxx令,ln)(ttF在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,]111[xxx)10(1ln)1ln(xxxx故当x0时,从而在上单调增.得,)0(1111ln)(xxxxf例3.证明当x0时,证法1:设则2)1(1)(xxxf)0(0x,)(单调递降xf0)(lim)(xfxfx.1111lnxx故xxx1111ln,0时从而证法2:当x0时,xxxln)1ln(11ln)10(1xx在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,得.)1ln(1,0xxxxx时例4.证明:证:1ln)1ln()1ln(xx)0(1xx)0(11xxxxx即xxxx)1ln(1例5.证明当.11,10xexx时01xxexe证:归结为证1)(xxexexf设)1,0(,0)(xexxfx则,)1,0()(上单调递减在故xf,)1,0(时因此x即01xxexexex11从而,11)(xexfx若设,)1(1)(2xexfx则在(0,1)上不好判别正负号,0)0()(fxf提示:证明f(0)是f(x)在(–,1)上的最大值.)(xf说明:若改为证明当x1时,,11xex如何证明?xaxxfln)(有两个根;例6.讨论方程)0(lnaxax有几