空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何学习导航学习目标重点难点重点：空间向量的运算的坐标表示．难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何xyzO右手系空间坐标系包括原点O,x轴,y轴,z轴.记作：空间直角坐标系O-xyz.空间直角坐标系共有八个卦限栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何新知初探思维启动1.向量加减法和数乘的坐标表示(1)加减法和数乘的坐标表示若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a＋b＝_______________________，a－b＝___________________________；②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)．(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何用文字叙述为：①空间两个向量和(差)的坐标等于它们__________________________；②实数与空间向量数乘的坐标等于_____________________________的乘积．对应坐标的和(差)实数与向量对应坐标栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何想一想把向量AB→＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变化？提示：向量AB→的坐标不变．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何2.已知空间中两点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，则向量AB→的坐标为()A．(2，0，－3)B．(－2，－1，3)C．(0，1，5)D．(－2，－1，5)解析：选B.AB→＝(－1，0，4)－(1，1，1)＝(－2，－1，3)．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(2)空间向量平行的坐标表示若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．②若x2，y2，z2都不为0，则a∥b⇔x1x2＝y1y2＝z1z2.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何做一做3.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若a∥b，则y＝________，z＝________．答案：24解析：1－2＝y－4＝－2z，∴y＝2，z＝4.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(3)空间向量的坐标表示设O是空间直角坐标系的原点，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，根据向量的坐标表示，可知OA→＝(x1，y1，z1)，OB→＝(x2，y2，z2)，栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何所以AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的______．差栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示(1)数量积的坐标表示设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝___________________．空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之_____．x1x2＋y1y2＋z1z2和栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(2)空间向量的长度与夹角的坐标表示①|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21；②cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22(a≠0，b≠0)；③a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何做一做4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：选A.a·b＝(1，－5，6)·(0，6，5)＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则〈a，b〉＝________．解析：a·b＝1＋2＝3，|a|＝2，|b|＝3，∴cos〈a，b〉＝32×3＝22，〈a，b〉＝π4.答案：π4栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何典题例证技法归纳题型探究例1空间向量的坐标运算已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝－7.(4)2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·[－(0，－1，4)]＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝14.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(5)(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝－8.【点评】牢记运算法则是正确计算的关键．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何例2向量平行、垂直的坐标表示已知空间三点A(－1，1，3)，B(0，2，3)，C(－2，1，5)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，且c∥BC→，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何【解】(1)∵c∥BC→，∴c＝mBC→＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)(m∈R)，∴|c|＝（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2＝3|m|＝3，∴m＝±1，∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1.又|a|＝12＋12＋0＝2，|b|＝（－1）2＋0＋22＝5，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何【点评】(1)解决空间向量的平行问题，可以根据题设条件，灵活运用空间向量平行的条件a＝λb(注意b是否为0)来求解．(2)依据向量垂直求参数，利用两向量对应坐标乘积的和为0转化为坐标运算较易获解．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何变式训练2.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4，2－2m，2－2m)平行，则m＝________．答案：1或3解析：当2－2m＝0，即m＝1时，a＝(2，0，0)，b＝(4，0，0)，满足a∥b.当2－2m≠0，即m≠1时，因为a∥b，所以4－2m4＝m－12－2m，解得m＝3.综上知，m＝3或m＝1.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何向量的模长、夹角的坐标求法例3(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1→，DF1→夹角的余弦值．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何【思路点拨】通过BE1→，DF1→的坐标表示，计算出它们的数量积和模，进而可求夹角的余弦值．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何提醒：建系时，充分利用几何体系中的垂直关系．【解】不妨设正方体的棱长为1，以DA→，DC→，DD1→为单位正交基底建立空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E1(1，34，1)，F1(0，14，1).2分栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何所以BE1→＝(1，34，1)－(1，1，0)＝(0，－14，1)，DF1→＝(0，14，1)－(0，0，0)＝(0，14，1).4分则|BE1→|＝02＋（－14）2＋12＝174，|DF1→|＝02＋（14）2＋12＝174，6分栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何BE1→·DF1→＝(0，－14，1)·(0，14，1)＝0×0＋(－14)×14＋1×1＝1516.8分所以cos〈BE1→，DF1→〉＝BE1→·DF1→|BE1→||DF1→|＝1516174×174＝1517.10分因此，BE1→，DF1→夹角的余弦值是1517.12分栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何【点评】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以用夹角公式和模长公式解决夹角和距离的计算问题，还可以使一些问题的解决变得简单．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何备选例题1.已知A(4，10，9)，B(3，7，5)，C(2，4，1),D(10，14，17)，M(1，0，1)，N(4，4，6)，Q(2，2，3)．(1)求证：A，B，C三点共线；(2)求证：M，N，Q，D四点共面．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何证明：(1)由题意，得AB→＝(－1，－3，－4)，AC→＝(－2，－6，－8)，显然AC→＝2AB→，∴AC→与AB→共线．又AC→，AB→有共同的起点A，∴A，B，C三点共线．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何(2)MN→＝(3，4，5)，MQ→＝(1，2，2)，MD→＝(9，14，16)．设MD→＝xMN→＋yMQ→，即(9，14，16)＝(3x＋y，4x＋2y，5x＋2y)，则3x＋y＝9，4x＋2y＝14，5x＋2y＝16，栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何解得x＝2，y＝3.故MD→＝2MN→＋3MQ→，由共面向量定理知MN→，MQ→，MD→共面，即M，N，Q，D四点共面．栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何2.已知a，b满足2a＋b＝(－1，－4，3)，a－2b＝(2，4，－5)，求a，b的坐标．解：法一：设a＝(x，y，z)，b＝(p，q，r)，则2a＋b＝(2x＋p，2y＋q，2z＋r)，∴2x＋p＝－1，2y＋q＝－4，2z＋r＝3，同理x－2p＝2，y－2q＝4，z－2r＝－5.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何解得x＝0，y＝－45，z＝15，p＝－1，q＝－125，r＝135.∴a＝0，－45，15，b＝－1，－125，135.栏目导引典题例证技法归纳新知初探思维启动知能演练轻松闯关第二章空间向量与立体几何法二：由4a＋2b＝(－2，－8，6)，a－2b＝(2，4，－5)，两式相加，得5a＝(0，－4，1)，∴a＝0，－45，15，∴b＝(－1，－4，3