第十章 随机过程及其统计描述

1随机过程2关键词：随机过程状态和状态空间样本函数有限维分布函数均值函数方差函数自相关函数自协方差函数互相关函数互协方差函数正态过程独立增量过程泊松过程维纳过程第十章随机过程及其统计描述tt确定信号－－如：方波、锯齿波等。其幅度、相位均随时间做有规律的、已知的变化。即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。可以用确定的时间函数来描述。人们可以准确地预测它未来的变化。随机信号－－其幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的可能会是另一种波形。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。但是，随机信号的统计规律则是确定的。•信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。•因此，人们用统计学方法建立随机信号的数学模型→随机过程。下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。举例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有m种，记录下m个不相同的波形。1km10intttt111(,)(,)()iXtXtxt(,)(,)()kikkXtXtxt(,)(,)()mimmXtXtxt()iXtS.},),,({,),(,.},),,({,是随机过程则称是一个随机变量若此函数对任意固定的二元函数上的和为定义在是一个无限实数集设TtStXtXTtTSTtStXT定义：这里对每一个tT,X(t)是一随机变量.T叫做参数集.常把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是t=t1时过程处于状态x,对于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.t固定，变化：X(ti,ζ)随机变量（状态）。t固定，固定：X(ti,ζk)一个确定的值。t变化，固定：X(t,ζk)确定的时间函数(随机过程的样本函数）t变化，变化：X(t,ζ)随机过程（一族时间函数的总体，或随时间变化的随机变量）下标i和k，分别表示确定的某个时刻i和确定的某个样本k。对随机过程而言：).(),(tXtX简记为今后将一般，随机变量写成:X,Y,Z。随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)样本函数写成:x(t),y(t),z(t)或X1(t)……Xn(t)7例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：1(),()()2(),,costHXttPHPTtTXtt当出现，其中当出现则是一随机过程。,()tXtcostt解：对任意固定的是随机变量，取值为和1234()Xt1()Xt2()Xtt1(())(())2PXtcostPXtt12(),()XtcostXtt此随机过程的样本函数只有两个，即82()(),,,(0,2),()(),(0,2),()(),XtcostttXtcostxtcost例：考虑式中和是正常数,是在上服从均匀分布的随机变量,这是一个随机过程。对每一固定的时刻是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-].在内随机取一数相应的就得到一个样本函数这族样本函数的差异在于它们相位的不同,故这一过程称为随机相位正弦波。93(),[0,1]()()[0,1]().XtVcosttVXttXtVcostVcostvxtvcost例：设其中是常数；在上服从均匀分布,则是一个随机过程。对每一固定的，是随机变量乘以常数，故也是随机变量,对上随机变量取一值,就得到相应的一个样本函数104120()0,0()(),00,1,2,.XtttXtXtt例：设某城市的急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。以表示时间间隔内接到的呼叫次数，它是一个随机变量，且对于不同的，是不同的随机变量，于是是一随机过程，且它的状态空间是1t2t3t4t'1t'2t'4t'3t14231()xt2()xt()xtt例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：16(1)(1)1,2,(),1,2,3,4,5,6,1nnnnXnnnXPXiiXn设是第次抛掷的点数，对于的不同值，是随机变量，服从相同的分布，因而构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,它的状态空间为1,2,3,4,5,6。(2),11,2,3,4,5,6nnYnYn设是前次抛掷中出现的最大点数,也是一随机过程，它的状态空间仍是。下面分别给出它们的一条样本函数：n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny12随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，13§2随机过程的统计描述()一随机过程的分布函数族(),,,(),(,)),(,)(XXFxtPXtxxRXttTtTXttTFxttT设随机，过程对每一固定的称为随机一过程的称维分布函数一为，维分布函数族数字特征分布函数两种描述一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。1212121111222221(,,,,)(),()(2,3,),,(),(),(),1,2,(),(,,;,,)(),,()XnnnniXnnnniFxxxtttPXtxXtxXtnntttTnXtXtXtxRinXttTFxxxttttTXttnxnT一般地，对任意个不同的时刻，维随机变量的分布函数：称为随机变；，量的称为的维分布函数维分布函数族1212(,,;,,),1,2,(),XnniFxxxtttntTXttT有限维分布一般地，称为随机过程的它完全确定了随机过程函数族的统计特性科尔莫戈罗夫定理：为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系,15例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos1(),()(),2()(1)(;0)(;1);(2)(,;0,1);tHXttPHPTtTXtFxFxFxx出现，设出现试确定的：一维分布函数，二维分布函数1(0)0HXT出现解：出现001(;0)01211xFxxx故1(1)1HXT出现出现011(;1)11211xFxxx故162(),,[0,1]30,,,,()442XtVcosttVtXt例：设随机过程，在上均匀分布求在时的密度函数。,0,tcostacost解：对给定的若记，()XtaV则的密度函数为：1011;0XVxxaafxtfaa其他01acos101;00Xxfx于是其他2,42acos220;240Xxfx其他23,42acos2203;240Xxfx其他1,acos110;0Xxfx其他0,2acos012PX•随机过程的数字特征•一、数学期望•如果将过程X(t)中的t看成是固定的，则X(t)就是一个随机变量，它随机的取值x，其在t时刻取x值的概率密度为。•据期望的定义：)(0)(tmttXX•mX(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。(,)Xfxt1()Xmt1t()XimtitdxtxxftXEtmtXXX),()]([)()(•二、随机过程X(t)的均方值和方差•同理，把过程X(t)中的t视为固定时，X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：•将t视为变量时，即为过程X(t)的均方值。22[()](,)XEXtxfxtdx222[()]{[()()]}[()](,)()XXXXDXtEXtmtxmtfxtdxt•同理，过程X(t)的方差：•过程X(t)的均方差：)()()]([2tttXDXX)(2tX•故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：})({)(iiytYPtp•对离散型随机过程Y(t),t∈T.•若所有状态取值的样本空间为S＝{y1,y2,…,ym}。•均方值为：•方差为：表示状态Y(t)取t时刻值为yi的概率。miiiYtpytm1)()()()]([)(1222tpytYEtimiiYmiiYiYtptmytYDt122)()]([)]([)(•三、随机过程的自相关函数•下面两个随机过程X(t)，Y(t)它们的期望和方差都相同，•mx(t)=mY(t)，x(t)=Y(t)。但从样本函数看有明显不同。x(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。ttttmttXXX210)()()(ttttmttYYY210)()()(•一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征——自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。·状态X(t1)与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：212121212121),;,()]()([),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222(,){[()()][()()]}[()][()](,;,)(,)(,)()()(,)[()](,)[()]()XXXXXXXXXXXXXCttEXtmtXtmtxmtxmtfxxttdxxCttRttmtmttttRttEXtCttDXtt时，过程的均方值。过程的方差。•随机过程的自相关系数定义为：0)(0)(....................)()(),(),(21212121ttttttCttXXXXXX•注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是：})({})({2tXEtXE各数字特征之间的关系如下：2,XXtRtt121212,,XXXXCttRtttt22,,XXXXtCttRttt以后，所有例题都满足上述两个条件，不必再去验证232(),,[()]()XttTtTEXtXt随机过程，如果对每一都存在，则称是，二阶矩过程的均值函数和相关二阶函数定总义：是程矩过存在的。1212(),1,,,(),(),()(),nnXttTntttTXtXtXtnXttT是一随机过程，若它的每一个有限维分布都是正态分布，即对任意整数及任意服从维正态分布，则称是正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差正函定义：态过程数所确定。243,()3,,,~1,4,~0,2,()ABXtAtBtTABANBUXt例：设是两个随机变量，试求随机过程:的均值函数和自相关函数。如果相互独立，且问的均值函数和自相关函数又是怎样的？()()XtEXt解：()3()tEAEB12