数学分析函数的连续性-2-3

§2.3函数2008／10／20一、函数的定义.,YX,,X:为函数则称如果的映射fRYf因变量自变量)(xfy如果对于每个数Dx,,是一个给定的数集D.上的一个函数是定义在则称Df:.1定义:记作,和它对应总有确定的数按照一定的对应法则yf.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.叫做这个函数的定义域数集D2.函数的两要素定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,12xy例如，];1,1[:D,112xy).1,1(:D⒊函数的表示方法(1)公式法21,xy例如(2)列表法(3)隐函数(4)参数法4y1x3x2x4x1y3y2y0),(yxF)()(thytgx(5)图像法)(xfyxy00,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.⑹分段函数二、函数的运算⒈四则运算.)(,)(gfDgDDfD.),()())((:gfDDxxgxfxgfgf和.),()())((:gfDDxxgxfxgfgf差.),()())((:gfDDxxgxfxgfgf积.0)(,,)()())((:xgDDxxgxfxgfgfgf商⒉复合运算)]([)(xgfxgfy,uy设,12xu21xy设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xgu的值域为gW,若gfWD,则称函数)]([xgfy为x的复合函数.定义:,自变量x,中间变量u,因变量y注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv)(有结合率无交换率hgfM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf三、函数的基本特征2．函数的单调性,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(2xf)(xfy)(1xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有3．函数的奇偶性偶函数有对于关于原点对称设,,DxD),()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD),()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy4．函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf.)(,,DlxDxl使得对于任一数为周则称)(xf.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l⑴⑵反函数定理四、反函数,一一对应是YXf.,),()(1YyXxyfxxfyYyyyff,)(1Xxxxff,)(1.,1-1是恒等映射所以ffff,上严格单调增（减）在定义域若Xf.1f则必存在反函数.,)(11也单调增（减）且定义域为fXff0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(1yfx反函数o)(xfy函数xyo),(abQ),(baP)(1xfy反函数函数与其反函数的图形关于直线对称.xy五、初等函数⒈基本初等函数“幂三反指对”幂函数三角函数指数函数)0(1xyxy反三角函数对数函数)1,0(aaxyarcsinxysinxayxyalogxeyxyln)1ln(,arccossin212xxyxxyx2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn⒊非初等函数举例(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)Riemann函数.\,0;,,,1)(QRxqpqpxqxR互质整数⒋双曲函数和反双曲函数)1ln(22xxarcshxeeshxxxRx)1ln(22xxarcchxeechxxx),1[xxxearcthxeeeethxxxxx11ln1)1,1(x双曲正弦反双曲正弦双曲余弦反双曲余弦双曲正切反双曲正切例1)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x综上所述.2,120011,,2,)]([2122xxxxxexexfxx作业(数学分析习题集)习题2.2函数1；2；3；12.