导数难题归类

导数难题归类一．导数中与零点相关问题1.已知函数ln1()axfxx(0a).（Ⅰ）求函数()fx的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程ln1xbx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；2．已知函数2()ln(1)2xfxaxax，aR．（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的最小值；（Ⅱ）当1a时，讨论函数()fx的零点个数.3.（本小题共13分）已知函数1()ln()fxaxaRx.（Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）如果函数()()2gxfxx在(0,)上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当0a时，讨论函数()yfx零点的个数．4.已知函数2()lnfxxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）设2()gxxxt，若函数()()()hxfxgx在1[,]ee上(这里2.718e）恰有两个不同的零点,求实数t的取值范围.5.已知函数e()xfxx.（Ⅰ）若曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线方程为0axy，求0x的值；（Ⅱ）当0x时，求证：()fxx；（Ⅲ）问集合{()0}xfxbxR（bR且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）6.（本小题共13分）设函数()e(R)axfxa.（Ⅰ）当2a时，求函数2()()gxxfx在区间(0,)内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()xhxfx在区间(0,16)内有两个零点，求实数a的取值范围.二．利用二阶导数解决问题1.（本小题满分13分）已知函数()()exafxxx，aR．（Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当1a时，求证：()fx在(0,)上为增函数；（Ⅲ）若()fx在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2.（本小题共13分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．三．导数中出现三角函数如何解决1．已知函数()sincosfxxxx．（Ⅰ）求曲线)(xfy在点(())πfπ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x，时，31()3fxx；（Ⅲ）若()cosfxkxxx对(0)2x，恒成立，求实数的最大值．2.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围。四．注意利用上一问结论去解决问题1．（本小题满分13分）已知函数f(x)＝lnx＋1x－1，1()lnxgxx（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g(x)的切线。2.（本小题共14分）设函数1)(xaexfx，Ra．（Ⅰ）当1a时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）当),0(x时，0)(xf恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当),0(x时，21lnxxex．k五．导数中求最值问题1.已知函数32()(,)fxaxxbxabR，()fx为其导函数，且3x时()fx有极小值9．（Ⅰ）求()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln1)64fxkxxx（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln71.95,ln82.08）2.已知函数2()ln,.fxxaxxaR（I）若函数()fx在(1,(1))f处的切线垂直于y轴，求实数a的值；(II)在（I）的条件下，求函数()fx的单调区间；(III)若1,()0xfx时恒成立，求实数a的取值范围.3.（本小题共14分）已知函数2()lnfxaxbx，a，bR.（Ⅰ）若()fx在1x处与直线12y相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()fx在1[,e]e上的最大值；（Ⅲ）若不等式()fxx对所有的(,0]b，2(e,e]x都成立，求a的取值范围.kxk4．已知函数，其中aR．⑴当时，求f(x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f(x)｜≤m成立．5.已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求证：()1fxx；（Ⅲ）若22()(0)fxaxaa在区间(0,)上恒成立，求a的最小值.6．已知函数()2xfxex．（Ⅰ）求函数()fx的极值；（Ⅱ）证明：当0x时，2xex；（Ⅲ）当0x时，方程2()2fxkxx无解，求k的取值范围．7.（本小题满分14分）已知函数2()e()xfxxaxa.（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式()eafx在[,)a上有解，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若曲线()yfx存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围.(只需直接写出结果)8．（本小题共14分）已知2()2ln(2)(1)fxxx，()(1)gxkx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当2k时，求证：对于1x，()()fxgx恒成立；（Ⅲ）若存在01x，使得当0(1,)xx时，恒有()()fxgx成立，试求k的取值范围．9．（本小题满分13分）已知函数21()(1)1)ln2fxxaxax（，aR．（Ⅰ）当3a时，求曲线:()Cyfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当1,2x时，若曲线:()Cyfx上的点(,)xy都在不等式组12,,32xxyyx所表示的平面区域内，试求的取值范围．六．导数中结合韦达定理1．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：a2.（本小题共14分）已知函数325()2fxxxaxb,327()ln2gxxxxb，（a，b为常数）．（Ⅰ）若()gx在1x处的切线过点(0,5)，求b的值；（Ⅱ）设函数()fx的导函数为()fx，若关于x的方程()()fxxxfx有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令()()()Fxfxgx，若函数()Fx存在极值，且所有极值之和大于5ln2，求实数a的取值范围．七．导数几何意义融入大题中1.（本小题共13分）已知函数1()1exfxx．（Ⅰ）求函数()fx的极小值；（Ⅱ）过点(0,)Bt能否存在曲线()yfx的切线，请说明理由．2.（本小题共14分）已知1x是函数()2lnbfxxxx的一个极值点．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求()fx的单调递减区间；（Ⅲ）设函数3()()gxfxx，试问过点2（，5）可作多少条直线与曲线()ygx相切？请说明理由．3.HD（本小题满分14分）已知函数21ln()xfxx.（Ⅰ）求函数()fx的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线lnxyx存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y.导数难题归类答案一．导数中与零点相关问题1.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}xx．因为ln1()axfxx，所以2ln()axfxx．因为0a，所以当()0fx时，1xa．当1(0,)xa时，()0fx，()fx在1(0,)a上单调递增；当1(,)xa时，()0fx，()fx在1(,)a上单调递减．所以当1xa时，1()()fxfaa最大值．（Ⅱ）当01b时，方程ln1xbx有两解．2.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为0xx.当1a时，2()ln2xfxx.211(1)(1)()xxxfxxxxx.由(1)(1)0xxx()0x解得1x；由(1)(1)0xxx()0x解得01x.所以()fx在区间(0,1)单调递减,在区间(1,)单调递增.所以1x时,函数()fx取得最小值1(1)2f.……………….5分（Ⅱ）(1)()()xxafxx,0x.（1）当0a时，(0,1)x时,()0fx,()fx为减函数;(1,)x时，()0fx，()fx为增函数.所以()fx在1x时取得最小值1(1)2fa.（ⅰ）当0a时，2()2xfxx，由于0x，令()0fx=，2x=，则()fx在(0,)上有一个零点；（ⅱ）当12a时，即(1)0f时，()fx有一个零点；（ⅲ）当12a时，即(1)0f时，()fx无零点.（ⅳ）当102a时，即(1)0f时，由于0x（从右侧趋近0）时，()fx；x时，()fx，所以()fx有两个零点.(2)当01a时，(0,)xa时,()0fx,()fx为增函数;(,1)xa时，()0fx，()fx为减函数；(1,)x时，()0fx，()fx为增函数.所以()fx在xa处取极大值，()fx在1x处取极小值.21()ln(1)2faaaaaa21ln2aaaa.当01a时，()0fa,即在(0,1)x时，()0fx.而()fx在(1,)x时为增函数，且x时，()fx，所以此时()fx有一个零点.(3)当1a时，2(1)()0xfxx在0,上恒成立，所以()fx为增函数.且0x（从右侧趋近0）时，()fx；x时，()fx.所以()fx有一个零点.综上所述，01a或12a时()fx有一个零点；12a时，()fx无零点；102a3.解：（Ⅰ）当2a时，1()2lnfxxx，(1)1f，所以221()fxxx，(1)1f．所以切线方程为yx．（Ⅱ）因为()()2gxfxx在(0,)上单调递减，等价于21()20agxxx在(0,)恒成立，变形得12axx(0)x恒成立，而1122222xxxx（当且仅当12xx，即22x时，等号成立）．所以22a．（Ⅲ）21()axfxx．令()0fx，得1xa．x1(0,)a1a1(,)a()fx0()fx↘极小值↗所以min1()=()fxfa=1ln(1ln)aaaaa．（ⅰ）当0ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内无零点；（ⅱ）当ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当ae时，min()0fx，①因为(1)10f，所以()fx在增区间1(,)a内有唯一零点；②21()(2ln)faaaa，设()2lnhaaa，则2()1haa，因为ae，所以()0ha，即()ha在(,)e上单调递增，所以()()0hahe，即21()0fa，所以()fx在减区间1(0,)a内有唯一的零点．所以ae时()fx在定义域内有两个零点．综上所述：当0ae时，()fx在定义域内无零点；当ae时，()fx在定义域内有唯一的零点；当ae时，()fx在定义域内有两个零点．4.解：（Ⅰ）函数定义域为(0,)【1分】1'()2fxxx，'(1)1f【2分】又(1)1f，所求切线方程为11yx，即0xy【5分】（Ⅱ）函数()()()lnhxfxgxxxt在1[,]ee上恰有两个不同的零点，等价于ln0xxt在1[,]ee上恰有两个不同的实根，【8分】等价于lntxx在1[,]ee上恰有两个不同的实根，令()ln,k