2-1.2平面汇交力系(解析法)

§2–1平面汇交力系（解析法）§2–1平面汇交力系（解析法）•1、力在坐标轴上的投影•2、合力投影定理•3、平面汇交力系的平衡条件学习内容及目标bABCa┌c如下图，在直角三角形中a为角A的对边b为角A的邻边c为三角形的斜边锐角三角函数定义正弦,余弦,回顾与思考1bABCa┌c,sincaA,coscbA,sincbB,coscaB(1)sin300等于多少?┌┌300600450450(2)cos300等于多少?111232(3)sin450,sin600等于多少?(4)cos450,cos600等于多少?洞察力与内秀特殊角的三角函数值表做一做P114要能记住有多好三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα3004506005.087.071.071.087.05.0这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢?XF3.力的投影1.定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。2.大小计算：X=Fx=FcosαY=Fy=Fsinα3.正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负4.投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力、的值与F在同轴上的投影X、Y相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量YFF1=100N,F2=200NF3=300N,F4=400N试分别计算各个力在X轴和Y轴上的投影解：根据投影公式，列表计算如下力力在x轴上的投影力在y轴上的投影F1F2F3F4cosFsinFN1000cos10000sin100N10060cos200N310060sin200N15060cos300N315060sin300N220045cos400N220045sin4004.合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：XYRxRYXRRRyyxtan2222当已知汇交力系在坐标轴上的投影分别为X1、X2、、、Xn与Y1、Y2、、、Yn时，可用合力投影定理求解合力R的大小和方向：例2如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知,101kNF,25,2032kNFkNF三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向（运用几何法和解析法）解：运用两种方法求解合力。（1）几何法取比例尺为：1cm代表10kN，画力多边形如图所示。从起点a向终点d作矢量，即得合力R。由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得α=22（2）解析法取如图所示的直角坐标系，则合力的投影分别为：kNFFRkNFFFRyx65.1660sin30sin16.4160cos30cos31321则合力R的大小为：kNRRRyx40.4465.1616.412222由于＞0，＞0，故α在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点。合力R的方向为：79.2116.4165.16arctanarctan16.4165.16tanxyxyRRRRxRyR二、平面汇交力系的平衡得平面汇交力系的平衡方程0R0)()(22YXR00YX两个独立的平衡方程只能求解两个未知数。•解题步骤：①确定研究对象，作研究对象的受力图；②选定坐标系；③列平衡方程并求解。•指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。例图示吊车架，已知P=10KN，求各杆受力大小。解：1、研究对象：整体或铰链AABSACSPAABSACS60°2、几何法：PABSACS60°SAC=P/sin600SAB=P×ctan6003、解析法：PAABSACS60°Rx=∑X=0SACcos600－SAB=0Ry=∑Y=0SACsin600－P=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600xy例题如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。在B点作用一水平力P,设P=20kN。求支座A和D的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解:1、取平面钢架ABCD为研究对象,画出受力图。PADBCRDRA2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：cos=0.89sin=0.447X=0P+RAcos=0RA=-22.36kNY=0RAsin+RD=0RD=10kNxy4m2m负号说明它的实际方向和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：TBD300FAB150150TBCTBD=GEB例题井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G300600150ABCDEx300150150TBDTBCGTBD=GY=0X=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300300600150ABCDE•解题步骤：①确定研究对象，作研究对象的受力图；②选定坐标系；③列平衡方程并求解。•指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。