一元二次方程知识点及对应习题

1知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x2-x-3=0.（）(2)4y-y2=0.（）(3)t2=0.（）(4)x3-x2=1.（）(5)x2-2y-1=0.（）(6)21x-3=0.（）(7)xx32=2.（）(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.（）(9)3x2-x4+6=0.（）(10)3x2=4x-3.（）2、判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx3、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）（A）23121xx（B）21120xx（C）20axbxc（D）2221xxx24、下列方程中，不是一元二次方程的是（）（A）2x2+7=0（B）2x2+23x+1=0（C）5x2+x1+4=0（D）3x2+(1+x)+1=05、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（）（A）2（B）－2（C）0（D）不等于26、已知关于x的方程03122pxnxm，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a。7、已知关于x的方程2220mmxxm：（1）m为何值时方程为一元一次方程；（2）m为何值时方程为一元二次方程。知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特别警示：（1）“0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2(1)109000xx2(2)5102.20xx2(3)2150x2(4)30xx(5)3)2(2x(6)0)3)(3(xx2、关于x的方程2320axx是一元二次方程，则（）（A）0a（B）0a（C）1a（D）0a3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1)2435xx；3(2)22831xxx4、方程（m2－1）x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是…（）（A）m≠1（B）m≠0（C）|m|≠1（D）m＝±15、关于x的方程06232xx中a是；b是；c是。6、方程495235232xxxx的一般形式为。7、方程(m-5)(m-3)x2m+(m-3)x+5=0中，当m为何值时，此方程为一元二次方程?知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：1、已知方程2390xxm的一个根是1，则m的值是。2、已知1x是一元二次方程2210xmx的一个解，则m的值是（）（A）1（B）0（C）0或1（D）0a3、若1x是一元二次方程220axbx的一个根，则ab。4、实数aacbb242是方程的根（）（A）02cbxax（B）02cbxax（C）02cbxax（D）02cbxax5、设a是一元二次方程052xx的较大根，b是0232xx较小根，那么ba的值是（）（A）-4（B）-3（C）1（D）26、已知关于x的一元二次方程220xkx的一个解与方程131xx的解相同。（1）求k的值；（2）求方程220xkx的另一个解。7、设12,xx是关于x的一元二次方程20xpxq的两个根，121,1xx是关于x的一元二次方程20xqxp的两个根，则,pq的值分别等于多少？4知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果20xkk，则xk（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程200axbxca的求根公式是242bbacxa240bac；（4）因式分解法：如果0xaxb则12,xaxb。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、方程2250x的解是：（）（A）125xx（B）1225xx（C）125,5xx（D）1225,25xx2、方程220xx的解是：（）（A）121xx（B）121,3xx（C）122,0xx（D）122,0xx3、方程25115xx的较简便的解法应选用。4、解下列方程：（1）2331xx（2）2230xx（3）2230xx55、解下列方程：（1）yy32322（2）1211312xx（3）2252)3(xx6、解下列方程：（1）2222263yyy（2）2233mxmx（3）122122xxxx7、解方程：（1）2330xx（2）024142mxmmx6知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程200axbxca的根的判别式是24bac：（1）当240bac时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240bac时，方程有两个相等的实数根；（3）当240bac时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有240bac。例题：1、已知方程230xxk有两个不相等的实数根，则k=。2、关于x的一元二次方程2210kxx两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）（A）1k（B）1k（C）0k（D）10kk且3、在下列方程中，有实数根的是（）（A）2310xx（B）411x（C）2230xx（D）111xxx4、当m满足何条件时，方程019122mxmmx有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5、关于x的方程05222mxmmx无实根，试解关于x的方程02252mxmxm。6、已知关于x的一元二次方程241210xmxm，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。7、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，7请说明理由。知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程200axbxca的两个实数根为12,xx，则1212,bcxxxxaa。温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：1、关于x的一元二次方程22430xkxk的两个实数根分别是12,xx，且满足1212xxxx，则k的值为：（）（A）314或（B）1（C）34（D）不存在2、已知,是关于x的一元二次方程22230xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则m的值是（）（A）3或-1（B）3（C）1（D）-3或13、关于x的一元二次方程222310xxm有两个实数根12,xx，且12124xxxx，则m的取值范围是（）（A）53m（B）12m（C）53m（D）5132m4、方程2360xx与方程2630xx的所有根的乘积是5、两个不相等的实数m,n满足2264,64mmnn，则mn的值为。6、设12,xx是关于x的方程2100xmxmm的两个根，且满足121123xx，求m的值。7、已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程2223320xkxkk的两个实数根，第三边BC的长为5，问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？8知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。例题：1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是。2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。3、一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？5、一根长22cm的铁丝．（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由．96、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?QPDCBA