大学物理(华中科技版)第9章习题解答

第9章真空中的静电场习题解答9－1精密的实验已表明，一个电子与一个质子的电量在实验误差为e2110－的范围内是相等的，而中子的电量在e2110－的范围内为零。考虑这些误差综合的最坏情况，问一个氧原子（含8个电子、8个质子、8个中子）所带的最大可能净电荷是多少？若将原子看成质点，试比较两个氧原子间的电力和万有引力的大小，其净力是引力还是斥力？解：（1）一个氧原子所带的最大可能净电荷为eq21max1024－（2）两个氧原子间的电力和万有引力的大小之比为6222711221921122222max0108.2)1067.116(1067.6)106.11024(1085.84141rrrmGrqffGe氧其净力是引力。9－2如习题9－2图所示，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1=1.8×10-9C，B点处有点电荷q2=－4.8×10-9C，AC=3cm，BC=4cm，试求C点的场强。解：根据点电荷场强大小的公式22014qqEkrr，点电荷q1在C点产生的场强大小为112014qEAC994-1221.8109101.810(NC)(310)方向向下。点电荷q2在C点产生的场强大小为2220||14qEBC994-1224.8109102.710(NC)(410)，方向向右。C处的总场强大小为2212EEEE2EE1q2ACq1Bθ44-10.913103.24510(NC)，总场强与分场强E2的夹角为12arctan33.69EE．9－3半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电荷线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强。解：在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ，电荷元为dq=λds，在O点产生的场强大小为220001d1ddd444qsERRR，场强的分量为dEx=dEcosθ，dEy=dEsinθ。对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为2dsinyLEEE/6/60000sind(cos)22RR03(1)22R。9－4均匀带电细棒，棒长a=20cm，电荷线密度为λ=3×10-8C·m-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端相距d1=8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强。解：（1）建立坐标系，其中L=a/2=0.1(m)，x=L+d1=0.18(m)。在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为1220ddd4()qlEkrxl场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得120d4()LLlExlExxEθRdsEyOydsExxEθREyOyolxxdlyP1r-LLd1014LLxl011()4xLxL220124LxL①将数值代入公式得P1点的场强为8912220.13109100.180.1E=2.41×103(N·C-1)方向沿着x轴正向。（2）建立坐标系，y=d2。在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为2220ddd4qlEkrr由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为dEy=dE2sinθ。由图可知：r=d2/sinθ，l=d2cotθ所以dl=-d2dθ/sin2θ因此02dsind4yEd总场强大小为02sind4LylLEd02cos4LlLd220224LlLlddl22022124LddL②将数值代入公式得P2点的场强为olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2θθ89221/220.13109100.08(0.080.1)yE=5.27×103(N·C-1)方向沿着y轴正向讨论：（1）由于L=a/2，x=L+d1，代入①式，化简得1011011144/1aEddadda保持d1不变，当a→∞时，可得1014Ed③这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小（2）由②式得220224(/2)yaEdda2202214(/)(1/2)dda当a→∞时，得022yEd，④这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式。如果d1=d2，则有大小关系Ey=2E1。9－5一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零。解：设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。在圆弧上取一弧元ds=Rdφ所带的电量为dq=λds在圆心处产生的场强的大小为2200dddd44qsEkrRR由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为dEx=-dEcosφ总场强为θROPbaOxdxy2/20/2cosd4xER2/20/2sin4R0sin22R方向沿着x轴正向。再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为`04ER由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为``02coscos222xEER方向沿着x轴负向当O点合场强为零时，必有`xxEE，可得tanθ/2=1因此θ/2=π/4，所以θ=π/29－6一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求平板所在平面内，离薄板边缘距离为a的P点处的场强。解：建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ=σdx根据直线带电线的场强公式02Er得带电直线在P点产生的场强为00ddd22(/2)xErbax其方向沿x轴正向。由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为θROxdφdEφθOE`E``xR/20/21d2/2bbExbax/20/2ln(/2)2bbbax0ln(1)2ba①场强方向沿x轴正向。9－7有一半径为r的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球心处的电场强度。解:如图所示，在球面上任取一面元ddsind2rS，其上带电量为ddsindd2rSq，电荷元qd在球心处产生的场强的大小为22020ddsin41d41drrrqE方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为0202004dcossin4dcosdEEEz9－8（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解：点电荷产生的电通量为Φe=q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1=Φe/6=q/6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1=Φe/24=q/24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．9－9面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如习题9－9图所示。求通过此半球面的电通量。解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电荷为q=πR2σ通过球面的电通量为Φe=q/ε0通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε09－10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2R1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）rR1；（2）R1rR2；（3）rR2处各点的场强。解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E=0，（rR1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=λl穿过高斯面的电通量为SSerlEEdSSdE2根据高斯定理Φe=q/ε0，所以02Er，(R1rR2)（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E=0，（rR2）9－11一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强。解：方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E`在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为deSES20dddSSSESESES1`02ESESES高斯面内的体积为V=2rS，包含的电量为q=ρV=2ρrS根据高斯定理Φe=q/ε0可得场强为E=ρr/ε0，(0≦r≦d/2)①S2S1E`S1S2EEd2rS0E`S0RO（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES高斯面在板内的体积为V=Sd，包含的电量为q=ρV=ρSd，根据高斯定理Φe=q/ε0，可得场强为E=ρd/2ε0，(r≧d/2)②方法二：场强叠加法（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下。在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ=ρdy，产生的场强为dE1=dσ/2ε0积分得100/2d()222rdydEr③同理，上面板产生的场强为/2200d()222drydEr④r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0（2）在公式③和④中，令r=d/2，得E2=0、E=E1=ρd/2ε0E就是平板表面的场强。平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式。9－12一个均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为，求：(1)轴线上任一点的电势（用x表示该点至圆盘中心的距离）；(2)利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距O点r处取一宽为dr的细圆环，其带电量为rdrddq2S，dq在P点处产生的电势为22122212001d12dd4()4()qrrVrxrx所以，整个带电圆盘在P点产生的电势为2222120002dd()4()2RrrVVRxxrx轴线上的场强分布为E2dyryoE1d)1(2dd220xRxxVEx9－13一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为RR的小球体，如习题9－13图所示，试求两球心O与O处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．解：挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加。对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443ErrP点场强大小为03Er当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443ErRP点场强大小为3203RErO点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产