2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第23讲 正弦定理和余弦定理的应用 Word版含答案

课时作业(二十三)[第23讲正弦定理和余弦定理的应用][中教网](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为()A．201＋33mB．201＋32mC．20(1＋3)mD．30m2．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°3．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，则x＝()A.3B．23C.3或23D．3或3图K23－14．[2012·粤西北九校联考]如图K23－1，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m能力提升[zzstep.com]图K23－25．[2012·大连联考]如图K23－2，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10mB．102mC．103mD．106m6．[2012·太原模拟]一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102nmileB．103nmileC．202nmileD．203nmile7．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200mB．300mC．400mD．1003m8．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h9．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15mB．5mC．10mD．12m10．如图K23－3，为了了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为________．图K23－3[中国教育出版网zzstep.com]图K23－411．如图K23－4，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为________m.12．[2012·临沂二模]已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西处40°，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔的距离为________km.13．△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示)．14．(10分)[2013·松原质检]如图K23－5，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图K23－515．(13分)[2012·长春质检]在某海岸A处，发现北偏东30°方向，距离A处(3＋1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西15°的方向，距离A处6nmile的C处的缉私船奉命以53nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以5nmile/h的速度从B处按照北偏东30°方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向．图K23－6[中教网]难点突破16．(12分)[2012·郑州质检]郑州市某广场有一块不规则的绿地如图K23－7所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7m，BC＝5m，AC＝8m，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)图K23－7课时作业(二十三)【基础热身】1．A[解析]如图，h＝20tan30°＋20tan45°＝201＋33(m)，故选A.2．B[解析]如图，∠CBA＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.[z。zs。tep.com]3．C[解析]作出图形，由余弦定理有x2＋32－2×3×xcos30°＝3，得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.4．A[解析]在△ABC中，由正弦定理得ACsin30°＝ABsin45°，AB＝502.【能力提升】5．D[解析]在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CDsin45°sin30°＝102.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BCtan60°＝106.6．A[解析]如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×12＝20(nmile)．∴∠BCA＝45°.∴由正弦定理可得ABsin45°＝BCsin30°.∴BC＝20×1222＝102(nmile)．7．B[解析]如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝2003.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝2003×32＝300，故选B.[z+zs+tep.com]8．B[解析]设A地东北方向上点P到B的距离为30km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－402x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即CD＝20，故t＝CDv＝2020＝1.故选B.9．C[解析]如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．10.1665[解析]作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中数据可得，MD＝AC＝50＋120＝170，MF＝CF－CM＝CF－AD＝110－80＝30，DN＝AB＝50，EN＝BE－BN＝200－80＝120，所以DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝（BE－FC）2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.[中*教*网z*z*s*tep]11．507[解析]依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC＝507(m)．12.6－1[解析]由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2，AB＝3，设B船到灯塔的距离为x，即BC＝x.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，即9＝4＋x2－2×2x－12，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－6(舍去)或x＝－1＋6.13．6sinB＋π6＋3[解析]在△ABC中，由正弦定理得ACsinB＝332，化简得AC＝23sinB，ABsinπ－B＋π3＝332，化简得AB＝23sin2π3－B，所以三角形的周长为：3＋AC＋AB＝3＋23sinB＋23sin2π3－B＝3＋33sinB＋3cosB＝6sinB＋π6＋3.14．解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD.所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsin（α＋β）.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsin（α＋β）.15．解：设缉私船至少经过th可以在D点追上走私船，则CD＝53t，BD＝5t.在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos(15°＋30°)＝4，∴BC＝2，由正弦定理得，BCsin45°＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝32，∠ABC＝60°，∴点B在C的正东方向上，∠DBC＝120°.[z。zs。tep.com]又在△DBC中，由正弦定理得CDsin120°＝BDsin∠BCD，∴sin∠BCD＝12，∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC，即5t＝2，∴t＝25.又∠BCD＝30°，故缉私船至少经过25h可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东60°.【难点突破】16．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D得cosC＝cosD，AB2＝49，所以AB长度为7m.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，所以S△ABDS△ABC.故选择△ABC建造环境标志费用较低．因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°，故S△ABC＝12AC·BCsinC＝103，所以，总造价为5000×103＝86600(元)．