3[1].2.2_复数代数形式的乘除运算

2020/2/613．2.2复数代数形式的乘除运算复数的乘法与除法想一想：1．复数乘除法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；它们的商(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．2．复数乘法的运算律对于任意的z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．4．求两复数商的步骤在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)(c＋di≠0)写成a＋bic＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简求得结果．做一做：1．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2等于(D)(A)4＋2i(B)2＋4i(C)2－4i(D)4－2i解析：z＝z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i.故选D.2．设z＝3＋i，则1z等于(D)(A)3＋i(B)3－i(C)310i＋110(D)310－110i解析：1z＝13＋i＝3－i3＋i3－i＝3－i10＝310－110i.故选D.3．(1＋i)4等于(B)(A)4(B)－4(C)4i(D)－4i解析：(1＋i)4＝(2i)2＝－4.选B.4．(2009年厦门高二检测)若复数z＝2i1－i，则|z＋3i|＝________.解析：∵z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i.∴|z＋3i|＝|(－1－i)＋3i|＝|－1＋2i|＝12＋22＝5.答案：5知识要点一：复数的乘除法1．复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1.2．复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．知识要点二：共轭复数1．复数z的共轭复数通常用z表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，z＝a－bi.2．两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2.3．实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝z⇔z∈R，这是判断一个数是否为实数的一个准则．4．两个共轭复数的对应点关于实轴对称．知识要点三：虚数单位i的乘方由i4＝1，则对任意n∈N*，i的幂的周期性如下：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.复数的乘除法【例1】(1)(2009年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i等于()(A)0(B)2(C)－2i(D)2i(2)(2009年高考陕西卷)已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()(A)2i(B)i(C)－i(D)－2i思路点拨：利用复数乘除法运算法则求解．解析：(1)法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.故选D.法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i－－i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i.故选D.(2)由题意得z＝ai(a∈R且a≠0)．∴z＋21－i＝2＋ai1＋i1－i1＋i＝2－a＋a＋2i2，则a＋2＝0，∴a＝－2，∴z＝－2i.故选D.复数的乘除法运算是高考考查的主要考点，解题中要严格按照复数乘除法的运算法则，注意常用的运算技巧及结论，就可以做好这类题目．变式训练11：(1)求1－2i3＋4i＋(1－i1＋i)2的值．(2)若z＝1－3i2，求(z2－z)－1的值．解：(1)原式＝1－2i3－4i3＋4i3－4i＋1－i21＋i2＝－5－10i25＋－2i2i＝－65－25i.(2)z2－z＝(1－3i2)2－1－3i2＝－1－3i2－1－3i2＝－1，所以(z2－z)－1＝－1.共轭复数的概念及其应用【例2】(2009年徐州高二检测)设P，Q是复平面上的点集，P＝{z|z·z＋3i(z－z)＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}．(1)P，Q分别表示什么曲线？(2)设z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．思路点拨：(1)设z＝x＋yix，y∈R，即Px，y→代入z·z＋3iz－z＋5＝0→化简整理得P的轨迹方程→代入法求Q的轨迹方程(2)根据复数的几何意义→|z1－z2|的几何意义→结论解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．解此类题关键要掌握共轭复数的性质：z·z＝|z|2＝|z|2等．设w＝a＋bi(a，b∈R)，z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.则a＝－2y0b＝2x0，将x0＝12by0＝－12a，代入x02＋(y0－3)2＝4，得(a＋6)2＋b2＝16.故Q表示以(－6,0)为圆心，4为半径的圆．(2)|z1－z2|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离，又圆心距|PQ|＝352＋4，故|z1－z2|最大值为6＋35，最小值为35－6.变式训练21：已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3iz＝101－3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，又z·z－3iz＝101－3i，∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝101＋3i10，∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，∴a2＋b2＋3b＝1，－3a＝3.∴a＝－1，b＝0，或a＝－1，b＝－3.∴z＝－1，或z＝－1－3i.in的周期性【例3】求1＋2i＋3i2＋…＋2012i2011的值．思路点拨：先把i看作字母，按数列求和，求和后再化简．解：设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2012i2011，则iS＝i＋2i2＋…＋2011i2011＋2012i2012，∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2011－2012i2012＝1－i20121－i－2012i2012＝1－i45031－i－2012(i4)503＝－2012.∴S＝－20121－i＝－20121＋i2＝－1006－1006i.复数的乘除法运算中，常考查in的周期性，往往把它与数列相结合．变式训练31：求1＋i＋i2＋…＋i2010.解：法一：1＋i＋i2＋…＋i2010＝1－i20111－i＝1－i2008·i31－i＝1＋i1－i＝i.法二：∵in＋1＋in＋2＋in＋3＋in＋4＝0(n∈N*)，∴1＋i＋i2＋…＋i2010＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2005＋i2006＋i2007＋i2008)＋i2009＋i2010＝1＋i－1＝i.1．(2009年高考浙江卷)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2等于(D)(A)－1－i(B)－1＋i(C)1－i(D)1＋i解析：2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝21－i2＋1＋i2＋2i＝1＋i.故选D.2．(2009年高考辽宁卷)已知复数z＝1－2i，那么1z等于(D)(A)55＋255i(B)55－255i(C)15＋25i(D)15－25i解析：由z＝1－2i知z＝1＋2i，于是1z＝11＋2i＝1－2i1＋4＝15－25i，故选D.3．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于(D)(A)i(B)－i(C)±1(D)±i解析：令z＝x＋yi(x，y∈R)则2x＝4，x2＋y2＝8，得x＝2，y＝2，或x＝2，y＝－2.不难得出zz＝±i，故选D.4．已知复数z1＝1－i，z1·z2＝1＋i，则复数z2＝________.解析：由已知z2＝1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝i.答案：i5.4－3i4＋3i＋4＋3i4－3i＝________.解析：原式＝16－9－24i25＋16－9＋24i25＝1425.答案：14256．(2009年高考重庆卷)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz等于(A)(A)2－i(B)2＋i(C)－2－i(D)－2＋i解析：由已知得z＝－1＋2i，则5iz＝5i－1＋2i·－1－2i－1－2i＝－5i＋105＝2－i.故选A.7．(2009年高考广东卷)设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)等于(C)(A)8(B)6(C)4(D)2解析：由已知得α(i)＝in＝1，∴最小正整数n为4，故选C.8．(2009年长春高二检测)已知f(z)＝|1＋z|－z，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.解：∵f(z)＝|1＋z|－z，∴f(－z)＝|1－z|＋z＝10＋3i，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－x－yi|＋x－yi＝10＋3i，∴1－x2＋y2＋x＝10－y＝3，∴x＝5y＝－3，∴z＝5－3i.9．已知z2＝8＋6i，求z3－16z－100z.解：z3－16z－100z＝z4－16z2－100z＝z2－82－164z＝6i2－164z＝－200z＝－200zz·z＝－200z|z|2.∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，又由z2＝8＋6i，得z＝±(3＋i)，∴z＝±(3－i)，∴原式＝－200z|z|2＝－60＋20i或60－20i