分式方程应用题分类解析加习题

1分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．分式应用题解题思路：“审---设---列---解---验---答”六步骤1、审题——题目描述的实际情境；A、事件及问题B、数字-----关系（a、利用公式；b、利用实际情况的加减乘除）2、设对应的未知数；注意：单位统一，为了下一步的方程有意义3、列方程；注意：单位统一后的数字写入方程才有意义4、解方程；注意：数学中的方程的解是-----数字，后面不写单位。因为在设未知数的位置已经有单位了5、双检验；A、是否是分式方程的根B、是否符合实际6、答注意：回归题目中的问题，对应回答！一、营销类应用性问题例1某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．解：设混合后的单价为0.5kgx元，则甲种原料的单价为0.5kg(3)x元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x48002000斤，甲种原料的重量为32000x，乙种原料的重量为14800x，依题意，得：32000x＋14800x=x48002000，解得17x，经检验，17x是原方程的根，所以17x．即混合后的单价为0.5kg17元．评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题．二、工程类应用性问题2例2某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组．解：⑴设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得：116()11110()11125()3xyyzxz，①，②．③①×61＋②×101＋③×51，得x1＋y1＋z1=51．④④－①×61，得z1=301，即z=30，④－②×101，得x1=101，即x=10，④－③×51，得y1=151，即y=15．经检验，x=10，y=15，z=30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得6()870010()95005()5500abbcca，，．800650300abc，，．由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱108000a元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b元．所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．评析：在求解时，把x1，y1，z1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．3三、行程中的应用性问题例3甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解：设普通快车车的平均速度为xkm／h，则直达快车的平均速度为1.5xkm／h，依题意，得xx6828=x5.1828，解得46x，经检验，46x是方程的根，且符合题意．∴46x，1.569x，即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．四、轮船顺逆水应用问题例4轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20．设船在静水中的速度为x千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．解：设船在静水中速度为x千米／时，则顺水航行速度为(2)x千米／时，逆水航行速度为(2)x千米／时，依题意，得230x=220x，解得10x．经检验，10x是所列方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．五、浓度应用性问题例5要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．分析：浓度问题的基本关系是：溶液溶质=浓度．此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：4设加入盐x千克．溶液溶质浓度加盐前4040×15%15%加盐后40＋x40×15%＋x20%根据基本关系即可列方程．解：设应加入盐x千克，依题意，得xx40%1540=10020．100(40×15%＋x)=20(40＋x)，解得25x．．经检验，25x．是所列方程的根，即加入盐2.5千克．六、货物运输应用性问题例6一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，列出分式方程．解：⑴设这批货物共有Tt，甲车每次运xt，乙车每次运yt．212axTayTxy∵，∶　　　∴∶∶，即乙车每次运货量是甲车的2倍．⑵甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，乙车每次运货量是丙车每次运货量的2n倍．则180＋n180=270＋n2170，解得12n．所以这批货物总量为180＋180×2=540(t)．∵甲车运180t，丙车运540－180=360(t)，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍．∴甲车车主应得运费：540×51×20=2160(元)，乙、丙两车主各得运费：540×52×20=4320(元)．5即应付甲车主运费2160元，付乙、丙两车车主运费各4320元．习题：1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。4、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。⑴求这种纪念品4月份的销售价格。⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？5、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。6答案：1，解：设乙单独整理需x分钟完工，则120204020x解，得x＝80经检验：x＝80是原方程的解。答：乙单独整理需80分钟完工。2，解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则3001500900xx解，得x＝450经检验：x＝450是原方程的解。答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。3，解：设步行速度是x千米/时，则247197xx解，得x＝5经检验：x＝5是原方程的解。进尔4x＝20（千米/时）答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。4，解：⑴设4月份销售价为每件x元，则xx9.07002000202000解，得x＝50经检验：x＝50是原方程的解。⑵4月份销售件数：2000÷50＝40（件）每件进价：(2000－800)÷40＝30（元）5月份销售这种纪念品获利：(2000＋700)－30×(40＋20)＝900（元）答：4月份销售价为每件50元，5月份销售这种纪念品获利900元。5，解：设规定时间为x天，则154xxx解，得x＝20经检验：x＝20是原方程的解。方案一付款：1.5×20＝30（万元）方案二：耽误工期不预考虑。方案三付款：1.5×4＋1.1×20＝28（万元）答：方案三节省工程款。