椭圆的简单几何性质例题

1/16典型例题一例1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223ac，∴3331e．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，2/16由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522yx上不同三点11yxA，，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列．（1）求证821xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．证明：（1）由椭圆方程知5a，3b，4c．由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，∴11545xexaAF．同理2545xCF．∵BFCFAF2，且59BF，∴51854554521xx，即821xx．（2）因为线段AC的中点为2421yy，，所以它的垂直平分线方程为3/1642212121xyyxxyyy．又∵点T在x轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得212221024xxyyx又∵点11yxA，，22yxB，都在椭圆上，∴212125259xy222225259xy∴21212221259xxxxyy．将此式代入①，并利用821xx的结论得253640x∴4540590xkBT．典型例题五例5已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M存在，设11yxM，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e．∵左准线l的方程是4x，∴14xMN．又由焦半径公式知：4/16111212xexaMF，112212xexaMF．∵212MFMFMN，∴11212122124xxx．整理得048325121xx．解之得41x或5121x．①另一方面221x．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk．由韦达定理得22212122kkkxx．∵P是弦中点，∴121xx．故得21k．所以所求直线方程为0342yx．5/16分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx，，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy．解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342yx．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy．6/16解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay．由已知ba2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy．（2）设方程为12222byax．由已知，3c，3cb，所以182a．故所求方程为191822yx．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay．典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MFeAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M7/16为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，，则点到直线的距离为263sin226sincos3d．当13sin时，22最小值d．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．8/16解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222byax，其中0ba待定．由222222221ababaace可得2143112eab，即ba2．设椭圆上的点yx，到点P的距离是d，则4931232222222yybyayxd34213493342222byyyb其中byb．如果21b，则当by时，2d（从而d）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾．因此必有21b成立，于是当21y时，2d（从而d）有最大值．由题设得34722b，可得1b，2a．∴所求椭圆方程是11422yx．由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，，点213，到点230，P的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincosbyax，其中0ba，待定，20，为参数．由22222221ababaace可得9/162143112eab，即ba2．设椭圆上的点yx，到点230，P的距离为d，则22222223sincos23bayxd49sin3sin34222bbb3421sin3222bbb如果121b，即21b，则当1sin时，2d（从而d）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾，因此必有121b成立．于是当b21sin时2d（从而d）有最大值．由题设知34722b，∴1b，2a．∴所求椭圆的参数方程是sincos2yx．由21sin，23cos，可得椭圆上的是213，，213，．典型例题十一例11设x，Ry，xyx63222，求xyx222的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx63222与椭圆方程的结构一致．设mxyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由xyx63222，得10/16123492322yx可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设mxyx222，则1122myx它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为11mm．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m，此时0m；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41m，∴15m．∴xyx222的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆012222babyaxC：，A、B是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、b如何变化，120APB．（2）如果椭圆上存在一个点Q，使120AQB，求C的离心率e的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因11/16此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：ax，by，根据120AQB得到32222ayxay，将22222ybaax代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用by列出不等式．这里要求思路清