数字信号处理--第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为10()()()()()NjjnnjjgHehneHeHe(7.1.1)(7.1.2)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=τω,τ为常数(7.1.3)如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即()dd第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理(1)第一类线性相位条件证明：1010()()()(1)NnnNnnHzhnzHzhNnz将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有11(1)(1)00(1)1()()()()()NNNmNmmmNHzhmzzhmzHzzHz(7.1.7)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理按照上式可以将H(z)表示为1(1)1(1)01111()222011()[()()]()[]221()[[]]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzz将z=ejω代入上式，得到：11()20101()()cos[()]21()()cos[()]21()(1)2NNjjnNgnNHeehnnNHhnnN按照(7.1.2)式，幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理(2)第二类线性相位条件证明：110011(1)(1)00(1)1()()(1)()()()()()NNnnnnNNNmNmnnNHzhnzhNnzHzhmzzhmzHzzHz(7.1.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为1(1)1(1)01111222011()[()()]()[]221()[]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzz第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理1120112201()()()sin[()]21()sin[()]2jNNjjzenNNjjnNHeHzjehnnNehnn因此，幅度函数和相位函数分别为101()()sin[()]21()()22NgnNHhnnNQ(7.1.11)(7.1.12)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为101()()cos[()]2NgnNHhnn式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理(3)/20(1)/20(1)/2011()()2()cos[()]2211()()2()cos22()()cosNgnNgnNgnNNHhhnnNNHhhmnHann令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)1(0)()211()2(),1,2,3,,22NahNNanhnn(7.1.14)式中第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理按照(7.1.13)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。101201()()cos[()]212()cos[()]2NgnNnNHhnnNhnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有/21/211()2()cos[()]221()()cos[()]2()2(),1,2,,)]22NgmNgnNHhmmHbnnNNbnhnn(7.1.15)(7.1.16)101()()sin[()]2NgnNHhnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：令m=(N-1)/2-n，则有(1)/21()()sin11()2(),1,2,,22NgnHcnnNNcnhnn(7.1.17)(7.1.18)1120011()()sin[()]2()sin[)]22NNgnnNNHhnnhnn令m=N/2-n,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理/21/211()2()sin[()]221()()sin[()]2()2(),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHdnnNNdnhnn(7.1.19)(7.1.20)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(1)1()()NHzzHz(7.1.21)图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有11120021122(1)00()()()()()()(1)()(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmHzhnzhnzhnzHzhnzhNmzhnhNn令m=N-n-1,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理12(1)0(1)121(1)20()()[]()()[](1)2NnNnnNNnNnnHzhnzzNHzhnzzhz(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(7.1.23)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理图7.1.2第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理图7.1.3第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数－1－1－1－1－1－1－1－1－1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理7.2利用窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此()()1()()2jjddnjjnddHehnehnHeed第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理相应的单位取样响应h-d(n)为,()0,jacjdceHe(7.2.1)1sin(())()2()ccjajncdnahneedna(7.2.2)为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，10()()NnnHzhnz图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即()()jjnddnHehne对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(1()()()2jjjdNHeHeRed(7.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即111(1)200sin(/2()()()sin(/2)NNjNjjnjnjaNNNnnNReRneeeRe(7.2.5)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理sin(/21(),sin(/2)2NNNRRN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ejω)写成下式：()()jjaddHeHe按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为1,()0,cdcH将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRd第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理将H(ejω)写成下式：()()1()()()2jjadNHeHeHHRd(7.2.6)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2020/2/8数字信号处理图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第7章有限脉冲响应数字滤波器