初等函数的幂级数展开式

1第四节一、泰勒(Taylor)级数初等函数的幂级数展开二、函数展开成幂级数2两类问题:在收敛域内和函数求和展开3一、泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:4)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,5定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2：若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.6二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,的幂级数的步展开成函数xxf)(①求函数及其各阶导数在x0=0处的值;②写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;③判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开7例1.将函数展开成x的幂级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxe故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn(在0与x之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数8nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:例2.将12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx展开成x的幂级数.92!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.10对应1,,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21111x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn112.间接展开法x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为nxxx21)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.x11xxxn211x12例5.将函数展开成x的幂级数.解:xxf11)()11()1(0xxnnn从0到x积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为利用此题可得11x11x上式右端的幂级数在x＝1收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛13的幂级数展成将xxxxf121)(2:解)()(xxxf212113111)1(110xxxnnn而2122110xxxnnn例6：(31xfnnnx01)()201nnnxnnnnx011321)(2121x14例7.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21xnnnnx2)1()1(0081nnnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x41x15内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开式的函数.162.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx]1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn!!212nxxxenxxx1ln!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77x),(x17xcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当m=–1时x11,)1(132nnxxxx),(x)1,1(x)1,1(xx11xxxn211x