6.3等比数列及其前n项和

要点梳理1.等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an=.§6.3等比数列及其前n项和从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数（不为零）公比qa1·qn-1基础知识自主学习3.等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am·,(n，m∈N*).（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则.（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{an}（≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列.G2=a·bqn-mak·al=am·anna12nannba5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=6.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为.qqan1)1(1.111)1(111qaqqaqqannqn基础自测1.设a1=2,数列{an+1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为（）A.80B.81C.54D.53解析由已知得an+1=(a1+1)·qn-1,即an+1=3·3n-1=3n,∴an=3n-1，∴a4=34-1=80.A2.等比数列{an}中，a4=4,则a2·a4·a6等于（）A.4B.8C.32D.64解析∵a4是a2与a6的等比中项，∴a2·a6==16.∴a2·a4·a6=64.D24a3.（2009·广东文，5）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2,a2=1,则a1=（）A.2B.C.D.解析设公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因为等比数列{an}的公比为正数,所以q=,故a1=C25a22221.22212qa24.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值是（）A.2B.-2C.3D.-3解析方法一依题意，q≠1,∵=7，①=63.②②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.方法二∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,而a4+a5+a6=S6-S3=56,∴7·q3=56,q3=8,q=2.Aqqa1)1(31qqa1)1(615.（2019·浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于（）A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)解析∵∴an·an+1=4·（）n-1·4·（）n=25-2n,故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=23+21+2-1+2-3+…+25-2nC332332.21,81325qqaa212141)41(332411)411(8nn题型一等比数列的基本运算【例1】已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式.根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组.解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2=a4=a3q=2q，∴+2q=解得q1=，q2=3.320思维启迪,23qqaq2.32031题型分类深度剖析①当q=时，a1=18，∴an=18×（）n-1==2×33-n.②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，31311318n9292320320a2=a2=6a4=6a4=解得或.3232①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.（1）等比数列{an}中，an=a1qn-1,Sn=中有五个量，可以知三求二；（2）注意分类讨论的应用.3231探究提高qqan1)1(1知能迁移1已知等比数列{an}中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=anlog2an,求数列{bn}的前n项和Sn.解（1）设数列{an}的公比为q,由题意知：2(a3+2)=a2+a4,∴q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0.∴q=2，即an=2·2n-1=2n.（2）bn=anlog2an=n·2n,∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n.①2Sn=1·22+2·23+3·24+…+（n-1）·2n+n·2n+1.②①-②得-Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1=-2-(n-1)·2n+1.∴Sn=2+（n-1）·2n+1.题型二等比数列的判定与证明【例2】（2019·湖北文，21）已知数列{an}和{bn}满足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数,数列{an}不是等比数列;（2）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.（1）可用反证法.（2）根据递推关系推出bn+1=-bn，用≠-18说明b1≠0，即bn≠0.32思维启迪32证明（1）假设存在一个实数,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即9=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.（2）bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n·(an-3n+21)=-bn.又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.`22a)494()332(2494949422323232由上式知bn≠0,所以(n∈N*).故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，为公比的等比数列.证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明(q≠0,n∈N*)，二是利用等比中项法，即证明=anan+2≠0(n∈N*).在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论.探究提高321nnbb32qaann121na知能迁移2（2009·全国Ⅱ理，19）设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1，Sn+1=4an+2.（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（1）证明由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn.因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.(2)解由（1）知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×2n-1,于是因此数列是首项为,公差为的等差数列,所以an=(3n-1)·2n-2.,432211nnnnaanna22143,414343)1(212nnann题型三等比数列的性质及应用【例3】在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且=2,求a3.（1）由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3.（2）也可利用性质=a1·a5=a2·a4直接求得a3.解方法一设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为.思维启迪11a54321111aaaa23ana1q1∴=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得∴=4.∴a3=±2.由已知条件得211)11(181)1(5151qqaqqa,4421qa解得23a23a.28111112323543212334242515154321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.知能迁移3（1）已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且b7=a7,求b5+b9的值;（2）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.解（1）∵a3a11==4a7，∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4，∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.27a（2）方法一a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=q6=1.①a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8.②②÷①：=q48=8q16=2，又a41a42a43a44=a1q40a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)·(q16)10=1·210=1024.41a41a6415441qaqa41a41a41a方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1=a1·a2·a3·a4=1，T4=a13·a14·a15·a16=8，∴T4=T1·p3=1·p3=8，∴p=2.∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1024.题型四等差、等比数列的综合应用【例4】（12分）已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对n∈N*均有=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2010.（1）可用基本量法求解；（2）作差an+1-an=nnbcbcbc2211思维启迪.nnbc解（1）由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴（1+4d）2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d＞0).2分∴an=1+(n-1)·2=2n-1.3分又b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为3,∴bn=3·3n-2=3n-1.5分（2）由得当n≥2时,两式相减得:n≥2时,=an+1-an=2.8分.112211nnnabcbcbc12211nnnabcbcbcnnbc∴cn=2bn=2·3n-1(n≥2).又当n=1时，=a2,∴c1=3.3(n=1)2·3n-1(n≥2).10分∴c1+c2+c3+…+c2010=3+=3+(-3+32010)=32010.12分在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式.本题第（1）问就是用基本量公差、公比求解；第（2）问在作差an+1-an时要注意n≥2.探究提高11bc∴cn=313260102知能迁移4已知数列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).（1）设bn=an+1-an(n∈N*),证明：{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.（1）证明由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列.（2）解由（1），a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥2).将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2(n