【数学】2015年高考真题――福建卷(文)(word版含解析)

1第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)iiabi（,,abRi是虚数单位），则,ab的值分别等于（）A．3,2B．3,2C．3,3D．1,42．若集合22Mxx，0,1,2N，则MN等于（）A．0B．1C．0,1,2D0,13．下列函数为奇函数的是()A．yxB．xyeC．cosyxD．xxyee4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（）A．2B．7C．8D．1285．若直线1(0,0)xyabab过点(1,1)，则ab的最小值等于（）A．2B．3C．4D．56．若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）A．125B．125C．512D．51227．设(1,2)a，(1,1)b，cakb．若bc，则实数k的值等于（）A．32B．53C．53D．328．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数1,0()11,02xxfxxx的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A．16B．14C．38D．12xyOBCDAF9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．822B．1122C．1422D．15111210．变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）A．2B．1C．1D．211．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340lxy交椭圆E于,AB两点．若4AFBF，点M到直线l的距离不小于45，3则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．3(0,]2B．3(0,]4C．3[,1)2D．3[,1)412．“对任意(0,)2x，sincoskxxx”是“1k”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．14．若ABC中，3AC，045A，075C，则BC_______．15．若函数()2()xafxaR满足(1)(1)fxfx，且()fx在[,)m单调递增，则实数m的最小值等于_______．16．若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列na中，24a，4715aa．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设22nanbn，求12310bbbb的值．418．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．19．（本小题满分12分）已知点F为抛物线2:2(0)Eypxp的焦点，点(2,)Am在抛物线E上，且3AF．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．520．（本题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（Ⅱ）求三棱锥PABC体积的最大值；（Ⅲ）若2BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值．21．（本题满分12分）已知函数2103sincos10cos222xxxfx．（Ⅰ）求函数fx的最小正周期；（Ⅱ）将函数fx的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a（0a）个单位长度后得到函数gx的图象，且函数gx的最大值为2．（ⅰ）求函数gx的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得00gx．622．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln2xfxx．(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x时，1fxx；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在01x，当0(1,)xx时，恒有1fxkx．7参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【答案】A【解析】试题分析：由已知得32iabi，所以3,2ab，选A．考点：复数的概念．2．【答案】D3．【答案】D【解析】试题分析：函数yx和xye是非奇非偶函数；cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4．【答案】C【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2xxyxx，则(1)918f，故选C．考点：程序框图．5．【答案】C考点：基本不等式．6．【答案】D【解析】试题分析：由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，则sintancos512，故选D．考点：同角三角函数基本关系式．7．【答案】A8考点：平面向量数量积．8．【答案】B考点：古典概型．9．【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122，故选B．考点：三视图和表面积．10．【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2yxz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当0m时，不满足题意；当0m时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mBmm．显然(0,0)O9不是最优解，故只能22(,)2121mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m，故选C．考点：线性规划．11．【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12．【答案】B考点：导数的应用．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．【答案】25【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020，故应抽取的男生人数为15002520．考点：分层抽样．1014．【答案】2【解析】试题分析：由题意得0018060BAC．由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB，所以232232BC．考点：正弦定理．15．【答案】1【解析】试题分析：由(1)(1)fxfx得函数()fx关于1x对称，故1a，则1()2xfx，由复合函数单调性得()fx在[1,)递增，故1m，所以实数m的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．16．【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)【答案】（Ⅰ）2nan；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,ad，进而求na的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nnbn，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I）设等差数列na的公差为d．11由已知得11143615adadad，解得131ad．所以112naandn．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．18．（本题满分12分）【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05．解法一：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1，2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，12,，共10个．其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，共9个．所以所求的概率910．（II）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.56.0520202020．12解法二：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1，2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，12,，共10个．其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,，共1个．所以所求的概率1911010．（II）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值．19．（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）24yx；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF可得232p，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GFGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得F22p．因为F3，即232p，解得2p，所以抛物线的方程为24yx．（II）因为点2,m在抛物线:24yx上，所以22m，由抛物线的对称性，不妨设2,22．由2,22，F1,0可得直线F的方程为221yx．由22214yxyx，得22520xx，解得2x或12x，从而1,22．13又G1,0，所以G22022213k，G20221312k，所以GG0kk，从而GFGF，这表明点F到直线G，G的距离相等，故以F为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切．解法二：（I）同解法一．（II）设以点F为圆心且与直线G相切的圆的半径为r．因为点2,m在抛物线:24yx上，所以22m，由抛物线的对称性，不妨设2,22．由2,22，F1,0可