2015.5.9正弦定理和余弦定理的讲义第十一次课教师版

远洋国际学校远洋国际学校网址：远洋国际学校学科教师辅导教案组长审核：学员编号：吕年级：高一课时数：3课时学员姓名：DZYY010023辅导科目：数学学科教师：吕老师授课主题正弦定理和余弦定理教学目的1、掌握正弦定理和余弦定理；2、应用正弦定理和余弦定理解决三角形中的问题。教学重点正弦定理和余弦定理的运用授课日期及时段2015年5月9日15:30--17:00(第十一次课)教学内容1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；[来源:zzstep.com]cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab远洋国际学校远洋国际学校网址：△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形[来源:中_国教_育出_版网]关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角[来源:zzstep.com]指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，AB必有sinAsinB．(√)远洋国际学校远洋国际学校网址：(2)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(3，2)．(√)(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(√)(4)在△ABC中，tanA＝a2，tanB＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(×)(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)2．(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝3sinB，∴sinA＝32.又A为锐角，∴A＝π3.3．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0Aπ，得A＝π2，所以△ABC为直角三角形．[来源:z,zs,tep.com]4．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．答案27解析由正弦定理知ABsinC＝3sin60°＝BCsinA，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)远洋国际学校远洋国际学校网址：＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋3cosC＋sinC)＝2(2sinC＋3cosC)＝27sin(C＋α)，其中tanα＝32，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.答案302解析如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302(km)．题型一正、余弦定理的简单应用例1(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()[来源:中+国教+育出+版网]A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为()A．0B．1C.12D.2思维启迪(1)由sinC＝23sinB利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.(2)要求sinB＋sinC的最大值，显然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A.远洋国际学校远洋国际学校网址：答案(1)A(2)B解析(1)∵sinC＝23sinB，由正弦定理得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.(2)已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A为三角形的内角，∴A＝120°.故sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)，故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.思维升华(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()A.725B．－725C．±725D.2425[来源:中教网](2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．答案(1)A(2)π6解析(1)由正弦定理bsinB＝csinC，远洋国际学校远洋国际学校网址：＝5c及C＝2B代入得bsinB＝85bsin2B，化简得1sinB＝852sinBcosB，则cosB＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝π3.由正弦定理知：sinA＝asinBb＝12，又ab，∴AB，∴A＝π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，故A＝π3.[来源:zzstep.com](2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.远洋国际学校远洋国际学校网址：＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，[来源:zzstep.com]由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．题型三解三角形的实际应用例3某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9远洋国际学校远洋国际学校网址：的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋92t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h．此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h才能靠近渔轮．思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100m，所以∠ACB＝30°.由正弦定