2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的数量积与平面向量应用举例(

2016届高考数学一轮复习教学案平面向量的数量积与平面向量应用举例[知识能否忆起]一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥b⇔a·b＝0.3．a·a＝|a|2，|a|＝a·a.4．cosθ＝a·b|a||b|.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝a21＋a22.4．cosθ＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.(θ为a与b的夹角)[小题能否全取]1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|解析：选B|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32解析：选D|b|cosθ＝3cos120°＝－32.3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10解析：选B∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋5＝10.4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝2×3×32＝3.答案：35．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________.解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝31×6＝12.∴向量a与b的夹角为π3.答案：π31.对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．平面向量数量积的运算典题导入[例1](1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3(2)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.[自主解答](1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.即18＋3x＝30，解得x＝4.(2)如图所示，∵AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC―→＝AM－MB，∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)＝AM2－MB2＝|AM|2－|MB|2＝9－25＝－16.[答案](1)C(2)－16由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．以题试法1．(1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2解析：选B由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0，故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2.又|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得λ＝23.(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.又因为e1，e2为单位向量，夹角为π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.答案：－6两平面向量的夹角与垂直典题导入[例2](1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为()A．150°B．90°C．60°D．30°(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[自主解答](1)∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a与c的夹角为90°.(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1.∴k＝1.[答案](1)B(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．解：设|a|＝m(m0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－12.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°.由题悟法1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．以题试法2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是()A．x＝0或2B．x＝2C．x＝1D．x＝±2(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则()A．存在λ0，使得向量c与向量d垂直B．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为60°C．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为30°D．存在λ0，使得向量c与向量d共线解析：(1)选Ba＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．(2)选D由图可知d＝4a＋3b＝4a＋34b，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有λ0；对于B，若λ0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60°；对于C，若λ0，则向量c与向量d夹角大于30°.平面向量的模典题导入[例3]设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝()A．2B．23C．4D．43[自主解答]由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝3，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝23.[答案]B由题悟法利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)则|a|＝x2＋y2.以题试法3．(2012·聊城质检)已知向量a＝(sinx,1)，b＝cosx，－12.(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．解：(1)由已知得a·b＝0，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝sin2x＋1＋cos2x＋14＝32.(2)∵f(x)＝a·b－a2＝sinxcosx－12－sin2x－1＝12sin2x－1－cos2x2－32＝22sin2x＋π4－2，∴函数f(x)的最小正周期为π.平面向量数量积的综合应用典题导入[例4](2012·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(bc)．[自主解答](1)由题意知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，∴令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3.∴f(x)的单调递减区间kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1.又π32A＋π37π3，∴2A＋π3＝π.∴A＝π3.∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又bc，∴b＝3，c＝2.由题悟法向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．以题试法4．(1)(2012·朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27B．25C．2D．6(2)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(MB－MC)·(MB＋MC－2MA)＝0，则△ABC为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：(1)选A由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F23＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝27.(2)选B由(MB－MC)·(MB＋MC－2MA)＝0，可知CB·(AB＋AC)＝0