高中数学竞赛平面几何定理

高中数学竞赛专题讲座第1页平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有)(22222BPAPACAB；中线长：222222acbma．4．垂线定理：2222BDBCADACCDAB．高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin))()((2．5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC中，AD平分∠BAC，则ACABDCBD；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta（其中p为周长一半）．6．正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，（其中R为三角形外接圆半径）．7．余弦定理：Cabbaccos2222．8．张角定理：ABDACACBADADBACsinsinsin．9．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=|d2－r2|．“到高中数学竞赛专题讲座第2页两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．高中数学竞赛专题讲座第3页20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则1:2:GDAG；（2）设G为△ABC的重心，则ABCACGBCGABGSSSS31；（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则2;32ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；（4）设G为△ABC的重心，则①222222333GCABGBCAGABC；②)(31222222CABCABGCGBGA；③22222223PGGCGBGAPCPBPA（P为△ABC内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；高中数学竞赛专题讲座第4页（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；（2）设I为△ABC的内心，则CAIBBAICABIC2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；（4）设I为△ABC的内心，,,,cABbACaBCA平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则acbKDIKKIAKIDAI；（5）设I为△ABC的内心，,,,cABbACaBCI在ABACBC,,上的射影分别为FED,,，内切圆半径为r，令)(21cbap，则①prSABC；②cpCDCEbpBFBDapAFAE;;；③CIBIAIpabcr．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxAxOCBACBA外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O为△ABC的外心，则ABOC2或ABOC2360；（3）SabcR4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边,,,cABbACaBC令)(21cbap，分别与ABACBC,,外侧相切的旁切圆圆心记为高中数学竞赛专题讲座第5页CBAIII,,，其半径分别记为CBArrr,,．旁心性质：（1）,21,2190ACBICBIACBICBA（对于顶角B，C也有类似的式子）；（2）)(21CAIIICBA；（3）设AAI的连线交△ABC的外接圆于D，则DCDBDIA（对于CBCIBI,有同样的结论）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径'R等于△ABC的直径为2R．28．三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212)cotcot(cot4222CBAcba))()((cpbpapppr，其中ah表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，)(21cbap．29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba30．梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有1RBARQACQPCBP．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、高中数学竞赛专题讲座第6页BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simsonline）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线