求数列通项公式的常用方法 (有答案)

求数列通项公式的常用方法一、累加法1．适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．解题步骤：若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。练习.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。2．解题步骤：若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例2已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan练习.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于1()nnaqafn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.解题步骤：设)(1nnaca，得)1(1ccaann，与题设,1dcaann比较系数得dc)1(，所以)0(,1ccd，所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann.例3已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna练习．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na答案：1)21(1nna2．形如：nnnqapa1(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可.②若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11，然后累加求通项.ii.两边同除以1nq，目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab，则可化为qbqpbnn11，然后转化为待定系数法第一种情况来解。iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例4已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二（两边同除以1nq）：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np）：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略3．形如bknpaann1(其中k,b是常数，且0k)待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为))1(()(1ynxapyxnann；比较系数求x、y；解得数列)(yxnan的通项公式；得数列na的通项公式。例5.在数列{}na中，362,2311naaann,求通项na.（待定系数法）解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab，公比为21。1)21(29nnb即：nnna)21(996，故96)21(9nann。练习在数列}{na中，,23,111naaann求通项na.（逐项相减法）解：，,231naann①2n时，)1(231naann，两式相减得2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1，则231nnbb知2351nnb即13511nnnaa②再由累加法可得213251nann.亦可联立①②解出213251nann.4．形如cnbnapaann21(其中a,b,c是常数，且0a)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例6已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213110118131320a，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。5.形如21nnnapaqa时将na作为()fn求解分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例7已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为4，公比为3的等比数列11243nnnaa，所以114352nnna练习.数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.答案：nna311.四、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数()fx的定义域为D，若存在0()fxxD，使00()fxx成立，则称0x为()fx的不动点或称00(,())xfx为函数()fx的不动点。分析：由()fxx求出不动点0x，在递推公式两边同时减去0x，再变形求解。类型一：形如1nnaqad例8已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为()21fxx，由()fxx得，不动点为-1∴112(1)nnaa，……类型二：形如1nnnaabacad分析：递归函数为()axbfxcxd（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得11nnnnapapkaqaq，其中apckaqc，∴111111()()()()nnnaqpqkappqaapkaq（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得111nnkapap，其中2ckad。例9.设数列{}na满足7245,211nnnaaaa,求数列{}na的通项公式.（答案：13423411nnna）分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：725247)52(727)52(72451nnnnnnnattatatattaata,令5247ttt,解之得t=1,-2代入72)52(1nnnatatta得721311nnnaaa,722921nnnaaa,相除得21312111nnnnaaaa,即{21nnaa}是首项为412111aa，公比为31的等比数列,21nnaa=n1341,解得13423411nnna.练习.已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列{}na的通项na答案：135106nnan五、对数变换法适用于rnnpaa1(其中p,r为常数)型p0，0na例10.设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.解：两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2nanb，则12nnbbnb是以2为公比的等比数列，11log121b11221nnnb，1221lognan，12log12nan，∴1212nna练习数列na中，11a，12nnaa（n≥2），求数列na的通项公式.答案：nna2222六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例11已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。解：求倒数得1111