二次函数图像与性质

第4课时二次函数1．二次函数的解析式有三种常用表达形式(1)一般式：f(x)＝；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点；(3)标根式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．基础知识梳理ax2＋bx＋c(a≠0)2．二次函数的图象及其性质基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理二次函数可以为奇函数吗？【思考·提示】不会为奇函数．1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25答案：A三基能力强化2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)＞f(3)B．f(3)＞f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案：C三基能力强化3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]答案：C三基能力强化4．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝_______.答案：9或25三基能力强化利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求f(x)解析式．课堂互动讲练考点一求二次函数的解析式1．已知三个点坐标时，宜用一般式．2．已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．3．若已知抛物线与x轴有两个交点，且横轴坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．课堂互动讲练课堂互动讲练例1已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式．求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向(即二次函数中二次项系数的正负)，然后借助于二次函数的图象或性质求解．因此，定义域、对称轴及二次项系数是求二次函数的最值的三要素．课堂互动讲练考点二二次函数的最值课堂互动讲练例2函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．【思路点拨】二次函数的对称轴x＝2，分情况讨论x＝2是否在区间[t，t＋1]内．课堂互动讲练【解】(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当t＋12，即t1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.(2)g(t)的图象如图所示．g(t)的最小值为－8.课堂互动讲练从而g(t)＝t2－2t－7，t1，－8，1≤t≤2，t2－4t－4，t2.【规律小结】二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴动区间定．一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．课堂互动讲练若题目变为：已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1对称轴方程为x＝a.(1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.课堂互动讲练互动探究(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，(3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知a＝－1或a＝2.课堂互动讲练∴a＝1±52(舍)．二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一起．三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函数的图象来探索解题思路是非常行之有效的方法．课堂互动讲练考点三二次函数的综合问题对于通过换元可转化为二次函数的问题，要注意中间变元的取值范围，它是转化后二次函数的定义域．课堂互动讲练课堂互动讲练例3(解题示范)(本题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．课堂互动讲练【思路点拨】(1)待定系数法．(2)二次函数的单调性．∴－b2a＝1，解得a＝－12，∴f(x)＝－12x2＋x.5分【解】(1)依题意，方程f(x)＝ax2＋bx＝x有等根，则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.2分又f(－x＋5)＝f(x－3)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，课堂互动讲练(2)∵f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12≤12，∴一定有3n≤12，即n≤16.6分而抛物线f(x)＝－12x2＋x的对称轴为x＝1，∴当n≤16时，f(x)在[m，n]上是单调递增函数.8分课堂互动讲练假设存在m，n满足要求，则有f(m)＝3m，f(n)＝3n，－12m2－2m＝0，①－12n2－2n＝0，②10分由①知m＝0或m＝－4，由②知n＝0或n＝－4.又∵m＜n≤16，课堂互动讲练∴取m＝－4，n＝0.即存在实数m＝－4，n＝0使f(x)的定义域为[－4,0]，值域为[－12,0].12分【名师点评】解决本题的关键是确定n的范围，从而把定义域[m，n]“放”在增区间内，问题便可解决．(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．课堂互动讲练高考检阅解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∵f(x)的对称轴为x＝1，∴x＝1时，f(x)取最小值1；x＝－5时，f(x)取最大值37.4分课堂互动讲练(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5，或－a≥5，解得a≤－5，或a≥5.10分课堂互动讲练1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值．规律方法总结当－b2a＜m时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)；规律方法总结当m≤－b2a≤n时，最小值为f(－b2a)＝4ac－b24a，最大值为f(m)或f(n)(m，n与－b2a较远的一个为最大)．当－b2a＞n时，函数在区间[m，n]上单调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m)．2．注重数形结合，密切联系图象是研究和掌握二次函数性质的基本方法．对于二次方程根的分布，需要结合图象，从三个方面考虑：(1)判别式，(2)区间端点函数值的正负，(3)对称轴与区间端点的位置关系．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式是一个有机整体，用函数思想研究方程和不等式是高考的热点．规律方法总结