空间向量概念及其运算

一、平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．AB相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：ab平行四边形法则a三角形法则(首尾相连)⑵向量的减法ab三角形法则减向量终点指向被减向量终点二、空间向量及其加减运算⒈空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．⑴定义：⑵表示方法：①空间向量的表示方法和平面向量一样；③空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．②同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；2.空间向量的加法、减法向量ABOAOBa+babABbCOOCOACAa-b推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA⒊空间向量加法运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；abcabc对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．例1、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量满足，则；（3）在正方体中，必有；（4）若空间向量满足，则；（5）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4ab、ab||||ab1111ABCDABCD11ACACmnp、、,mnnpmpC变式：如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。（1）是写出与相等的所有向量；（2）写出与向量的相反向量。AB1AA化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体''''DCBAABCD；⑴BCAB；⑵'AAADABABCDA’B’C’D’例2(4)ACDBDC(3)ABCBAA例3已知空间四边形ABCD,接AC,BD,设M、G分别是BC，CD的中点，化简下列各式表达式，并标出化简结果。ABDCMG例4（课本P104例）平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律小结abba加法交换律)()(cbacba加法结合律类比、数形结合