2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用)： 基本不等式(新人教A版)

第四节基本不等式三年13考高考指数:★★★1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件是__________.(2)等号成立的条件是：当且仅当_____时取等号.(3)其中称为正数a,b的____________，称为正数a，b的____________.abab2a0,b0a=bab2算术平均数ab几何平均数【即时应用】判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写√或×)(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)()(2)(a，b∈R)()(3)(a,b∈R)()(4)(a,b均不为零)()2abab()2222abab()22ba2ab【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab，故(1)正确.(2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,即故(2)正确.(3)由故(3)正确.(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则故(4)错.答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2abab,2（）22222ababab2ab()2242(ab)0,4ba22,ab2.利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且a＋b＝M，M为定值，则等号当且仅当____时成立.(简记：和定积最大)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥____，等号当且仅当______时成立.(简记：积定和最小)2Mab4，a＝b2Pa＝b【即时应用】(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为______.(2)函数的最大值为______.(3)已知m0,n0且mn≥81，则m+n的最小值为______.xfxx1【解析】(1)由得故xy≤等号当且仅当x=1,y=时取得.(2)∵x≥0，①当x=0时，f(0)=0；②当x＞0时，f(x)=当且仅当即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为(3)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴∴故m+n的最小值为18.答案：(1)(2)(3)182x3y23xy,3xy,313，1311,12xx1xx，1.2mn9,mn2mn18，1312利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式的条件.(2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.【例1】(1)(2012·无锡模拟)若x-3，则的最小值为_______.(2)已知x,y为正实数，且满足则xy的最大值为______.(3)已知a，b为正实数且a+b=1，则的最小值为______.2xx3xy134，111(1)ab（）【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)直接应用基本不等式求解.(3)将与中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.【规范解答】(1)由x-3得x+30,又等号成立的条件是即答案：1a1b22xx33223x3x3，2x3,x3x23.223(2)因为x,y为正实数，所以所以即xy≤3,当且仅当y=2时等号成立.答案：3(3)∵a0,b0,a+b=1,∴同理∴等号成立的条件为答案：9xyxy123412，xy1122，3x2，1abb112,aaa1a12,bb11baba(1)(1)(2)(2)52549,ababab（）1ab.2【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值.2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.基本不等式的实际应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296(x+)[phone]x2162x1296100x100x≥1296×+12960=38880(元)，当且仅当(x0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.1002xx100xx(2)由限制条件知∴设由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当时(此时),g(x)有最小值，即f(x)有最小值=38882(元).∴当长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元.0x16,162016x110x16.81001g(x)x10x16,x8（）110168［，］1x10816216x18001296(10)129608811108【反思·感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.【例3】(1)(2012·杭州模拟)设x,y∈R，a1,b1，若ax=by=4且则的最大值为______.(2)已知函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒过定点P，且点P在直线(a,b∈R+)上，则3a+2b的最小值为______.【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可求.(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.ab22,11xyyx2ba【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故=log4a+log4b=log4ab.又∵a1,b1,故∴等号当且仅当即x=y=4时等号成立.∴的最大值为答案：ab1111xylog4log4ab22,2444ab1logabloglog2,22（）111,xy2ab2,11xy1.212(2)由函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为(-4，2)，又P在直线(a,b∈R+)上，故即∴≥当且仅当3a2=4b2，即时等号成立.∴3a+2b的最小值为答案：yx2ba242ba，211,ab213a4b3a2b(3a2b)()8abba8212843,23a2,b313843.843【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.11xy【易错误区】忽视题目的隐含条件致误【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是______.【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可.2fxx【规范解答】由题意可知的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P(x,)与Q(-x,)，由两点间距离公式可得等号当且仅当x2=2，即时取得.答案：42fxx2x2x2222224PQ(xx)2x4xxx（）（）x2【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.(2)有些同学设出直线方程与联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解.2f(x)x备考建议解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；(3)思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.1.(2011·福建高考)若a0,b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于()(A)2(B)3(C)6(D)9【解析】选D.由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b,∵函数f(x)在x=1处有极值，∴f′(1)=0,∴12-2a-2b=0,即a+b=6.又∵a0,b0，由基本不等式得：故ab的最大值是9.22ab6ab922，（）（）2.(2011·陕西高考)设0ab，则下列不等式中正确的是()(A)(B)(C)(D)ababab2abaabb2abaabb2ababab2【解析】选B.方法一：已知ab和比较a与因为所以同理由得作差法：所以综上可得故选B.方法二：本题还可用特值验证法求解.取a=2,b=8,则故故选B.abab2，ab，22aaba(ab)0,（）aab，22b(ab)b(ba)0abb;abbab022，abb,2abaabb;2abab4,52，abaabb2，3.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件x8【解析】选B.平均每件产品的费用为当且仅当即x=80时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.2x800800x8yxx8800x220x8，800x,x84.(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为______.【解析】由log2a+log2b≥1得