1.2.2组合(二)

——组合应用题复习巩固：1、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：1:mnmnnCC定理一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？5638C⑵2127C⑶3537C解：（1）性质2我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．我们发现：38C27C37C为什么呢CCmnmn1:证明)]!1([)!1(!)!(!!mnmnmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn]!)1[(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质2注:1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．cccmnmnmn11例１计算：329999(1);CC332898(2).2CCC16170012398991003100C563828283838)(2CCCCC例2求解:0129456131CCCC（）计算；2222234102CCCC（）计算；1121.nnnnnnnnnmnmCCCCC＋（3）求证：例3.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根据分步计数原理得到：22264290CCC种一、等分组与不等分组问题例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．222642CCC33A可得：22236423CCCxA2226423315CCCxA因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．点评：本题是分组中的“平均分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．12365360CCC（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．12336533360CCCA例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（6）这是“不均匀分组”问题，设分成1:1:4三堆有x种，甲选四本，乙丙各一本，选法有,于是有：241262xACC解：（5）一共有种方法．416230CC（5）将6本书分给甲乙丙三人，甲四本，乙丙各一本；（6）将6本书分成三堆，一堆四本，其余两堆各一本；22xA41622215CCxA4615法二：C例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（7）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（7）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；12336533360CCCA③“1、1、4型”，有种方法，436390CA所以，一共有90+360+90＝540种方法．变式：若10本不同的书，分成6:2:2三堆，有多少种分法？622104222CCCA练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311C二、不相邻问题插空法C三、混合问题，先“组”后“排”例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，直到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有多少种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540CCA解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC四、分类组合,隔板处理练习、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有种分法.59C59126C解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有种分法.2615C1234666633126CCCC（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；44256（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有＝144种方法24C34A24C34A例6.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其它5人既会划左舷,又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?多面手问题练习：在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问有多少种不同的选法？例7：10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双；(2)4只鞋子恰好成双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双。先选双,在挑只在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）（1）其中有多少个矩形？（2）其中有多少个正方形？课堂练习：1.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.2.理解组合数的性质3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.●思悟小结小结：1.解应用题，首先要确定是排列问题，还是组合问题。2.许多排列应用题的解题思路，可迁移到组合应用题中。4.“至多至少”问题，容易出错。要用分类解决，或用排除法解决。3.既有排列又有组合的混合应用题，一般先取后排。5.涉及“多面手”的问题，一般分类解决。