2007年高考真题(四川卷)(数学理)

本卷第1页（共14页）2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式)()(BPAPBAP）（2Rπ4＝S如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径()()PABPAPB（）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34πR3Vn次独立重复试验恰有k次发生的概率为：其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp一、选择题1．复数211iii的值是A．0B．1C．-1D．12．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是3．121lim211xxxxA．0B．1C．21D．324．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是本卷第2页（共14页）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°5．如果双曲线12422yx上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是A．364B．362C．62D．326．设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且三面角B-OA-C的大小为3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是A．67B．45C．34D．237．设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若方向在与OCOBOA上的投影相同，则a与b满足的关系式为A．354baB．345baC．1454baD．1445ba8．已知抛物线32xy上存在关于直线0yx对称的相异两点A、B，则|AB|等于A．3B．4C．23D．249．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0．4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0．6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为A．36万元B．31．2万元C．30．4万元D．24万元10．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有A．288个B．240个C．144个D．126个11．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是本卷第3页（共14页）A．32B．364C．4173D．321212．已知一组抛物线1212bxaxy，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是A．121B．607C．256D．255第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上．13．若函数f（x）=e-（m-u）2（c是自然对数的底数）的最大值是m,且f（x）是偶函数，则m+u=．14．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．15．已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是．16．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是．②终边在y轴上的角的集合是{a|a=Zkk,2|．③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④把函数.2sin36)32sin(3的图象得到的图象向右平移xyxy⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔xy其中真命题的序号是（写出所言）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本卷第4页（共14页）17．（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos且2,（1）求2tan的值．（2）求．18．（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并求该商家拒收这批产品的概率．本卷第5页（共14页）19．（本小题满分12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC;（2）求二面角BACM的大小;（3）求三棱锥MACP的体积．20．（本小题满分12分）设1F、2F分别是椭圆224xy=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值；（2）设过定点M（O，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()4fxx，设曲线()yfx在点(,())nnxfx处的切线与x轴的交点为本卷第6页（共14页）1(,0)()xnxnN，其中1x为实数．（1）用nx表示1nx；（2）求证：对于一切正整数n，1nnxx的充要条件是12x；（3）若124,lg2nnnxxax记，证明数列na成等比数列，并求数列nx的通项公式．22．（本小题满分14分）设函数1()(1)(,1,)nfxnNnxRn且．（1）当6x时，求1(1)nn的展开式中二项式系数最大的项；（2）对任意的实数x，证明(2)(2)'()('()()2fxffxfxfx是的导函数）；（3）是否存在aN，使得11(1)(1)nkkanak恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．本卷第7页（共14页）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．A2．C3．D4．D5．A6．C7．A8．C9．B10．B11．D12．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．l14．615．32x16．①④三、解答题17．本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．解：（1）由221143cos,0,sin1cos1().7277得sin437tan43.cos71于是222tan24383tan2.1tan471(43)（2）由0,0.22得又13cos(),14221333sin()1cos()1().1414由(),得coscos[()]coscos()sinsin()113433317147142所以318．本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查随机变量的分布列，数学期望等，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有l件是合格品”为事件A．用对立事件A来算，有4P(A)1P(A)1(0.2)0.9984.本卷第8页（共14页）（2）可能的取值为0，1，2．2172203111722023220C136P(0);C190CC51P(1);C190C3P(2).C190012P136190511903190136513573E012.19019019019010记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B．则商家拒收这批产品的概率13627P=1-P(B)=1-.19095所以商家拒收这批产品的概率为2795。19．本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．解法一：（1）PCAB,PCBC,ABBCB,PCABC平面PCPACPACABC,PACABC.又平面，平面平面平面平面（2）取BC的中点N，则CN=1．连结AN、MN，PM//CNMN//PCMNABC，，从而平面NHACACHMH作，交的延长线于，连结，则ACMH由三垂线定理知，，从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴∠AMN=60°．在△ACN中，由余弦定理得222cos1203oANACCNACCN．在Rt△AMN中，3cot313MNANAMN．本卷第9页（共14页）在Rt△CNH中，33sin122NHCNNCH．在Rt△MNH中，123tan332MNMHNNH．（3）由（2）知，PCNM为正方形，∴113sin1203212OPMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN解法二：（1）同解法一．（2）在平面ABC内，过C作CD⊥CB．建立空间直角坐标系C-xyz（如图），由题意有31(,,0)22A，设00(0,0,)(0)Pzz，则00033(,1,),(,,),(0,0,)22MozAMzCPz．由直线AM与直线PC所成的角为60°,得||||cos60oAMCPAMCP,即22000132zzz，解得z0＝1．∴31(0,1,1),(,,0)22CMCA，设平面MAC的一个法向量为n＝（1x，1y，1z）．则11110,310.22yzxy取x1＝1，得(1,3,3)n．平面ABC的法向量取为m＝（0，0，1）．设m与n所成角为θ，则3cos||||7mnmn．显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，故二面角M-AC-B的大小为21arccos7．（3）取平面PCM的法向量为n1=（1，0，0），本卷第10页（共14页）则点A到平面PCM的距离1132CAnhn.因1,1,PCPM1113311326212PMACAPCMVVPCPMh20．本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．解：（1）解法一：易知a=2，b=1，c=3所以1F（－3,0），2F（3，0）．设P（x，y），则12(3,)(3,)PFPFxyxy=223xy=22134xx=21(38)4x因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值-2；当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1．解法二：易知a=2，b=1，c=3，所以1F（-3，0），2F（3，0），设P（x，y），则12PFPF=1212cosPFPFFPF=222121212122PFPFFFPFPFPFPF=2222133122xyxy=223xy（以下同解法一）（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（1x，1y），B（2x，2y）．联立22214ykxxy消去y，整理得221()4304kxkx12122243,1144kxxxxkk