导数的概念及几何意义

1/17专题五：导数的概念及几何意义【学习目标】1．知识与技能（1）理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义．（2）通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程．2．过程与方法经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．3．情感、态度与价值观领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．【要点梳理】要点一：导数的概念1．导数的概念设函数=()yfx，当自变量x从0x变1x时，函数值从0fx变到1fx，函数值关于x的平均变化率为100010=fxfxfxxfxyxxxx，当1x趋于0x，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()yfx在0x点的导数，通常用符号0'fx‘表示，记作xxfxxfxyxfxx00000limlim＝要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S从时间1t到2t的平均变化率即为1t到2t这段时间的平均速度．（3）增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数．（4）0x时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()fxxfxyxx无限接近．（5）函数=()yfx在0x点的导数还可以用符号0'|xxy表示．要点二：导数的几何意义2/17已知点00(,)Pxy是曲线=()yfx上一定点，点00(,)Qxxyy是曲线=()yfx上的动点，我们知道平均变化率yx表示割线PQ的斜率．如图所示：当点Q无限接近于点P，即0x时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线．也就是：当0x时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim()xxfxxfxykfxxx．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P处的切线：点P在曲线上，在点P处作曲线的切线（P是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P处的切线：点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P即可），数量不唯一．如图2，无论点P在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线1l、2l与曲线相切．0'fx‘表示曲线=()yfx在0xx处的切线的斜率，即0'=tanfx‘（为切线的倾斜角）3/17（3）直线与曲线相切直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l2与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线l2与曲线C相切；而直线l1尽管与曲线C相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是=sst，那么该物体在时刻0t的瞬时速度v就是=sst在0=tt时的导数，即0='vst；如果物体运动的速度随时间变化的规律是vvt，那么物体在时刻0t的瞬时加速度a就是vvt在0=tt时的导数，即0'avt．要点诠释：0'()fx表示函数()fx在0x处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度t对时间t的变化率；瞬时电流是电量Qt对时间t的变化率；瞬时功率是功Wt对时间t的变化率；瞬时电动势是磁通量tΦ对时间t的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数1()yfxx在x=1处的导数．举一反三：【变式1】已知函数2=fxxx的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB，则xy，'1=f．【变式2】求函数2()3fxx在x=1处的导数．4/17【变式3】求函数2fxxx在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．已知函数24fxx，求()fx．举一反三：【变式1】求函数1yx在(0,)内的导函数．【变式2】已知()2fxx，求'()fx，'(2)f．例3．若0'()2fx，则000()()lim2kfxkfxk________．举一反三：【变式1】函数)(xf满足2)1('f，则当x无限趋近于0时，（1）xfxf2)1()1(；（2）xfxf)1()21(．【变式2】若0'()fxa（1）求xxfxxfx000lim的值；（2）求000()()limxfxxfxxx的值．【变式3】设函数()fx在点x0处可导，则000()()lim2hfxhfxhh________．类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21yx在点12P，处的切线方程．举一反三：【变式】求曲线215yxx上一点2x处的切线方程．例5．求曲线3fxx经过点(1,1)P的切线方程．举一反三：【变式1】已知函数3()3fxxx，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【变式2】已知曲线1yx．5/17（1）求曲线过点10A，的切线方程；（2）求满足斜率为13的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2fxxaxbxa，2()32gxxx（其中xR，,ab为常数）．已知曲线()yfx与()ygx在点（2，0）处有相同的切线l．求,ab的值，并写出切线l的方程．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为120155Ttt，其中Tt为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．计算2T，并解释它的实际意义．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(attvts，其中0v是初速度（单位：m），t是时间（单位：s）．求：2st时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．【变式2】质点按规律21stat做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点在2st时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．【巩固练习】一、选择题1．已知函数)(xfy，下列说法错误的是（）A．)()(00xfxxfy叫函数增量B．xxfxxfxy)()(00叫函数在[xxx00,]上的平均变化率C．)(xf在点0x处的导数记为yD．)(xf在点0x处的导数记为)(0xf2．设()4fxax，若'(1)2f，则a=（）A．2B．－2C．3D．－33．曲线2122yx在点3(1,)2处切线的倾斜角为（）A．1B．4C．54D．－44．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则(5)f及'(5)f分别为()A．3，3B．3，－1C．－1，3D．－1，－15．已知函数3()fxx的切线的斜率等于1，则其切线方程有（）A．1条B．2条C．多于2条D．不确定6．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离212Sgt其中t为经历的时间，29.8m/sg，若0(1)(1)limtStSVt9.8m/s，则下列说法正确的是（）A．0～1s时间段内的速率为9.8m/s6/17B．在1～1+△ts时间段内的速率为9.8m/sC．在1s末的速率为9.8m/sD．若△t＞0，则9.8m/s是1～1+△ts时段的速率；若△t＜0，则9.8m/s是1+△ts～1时段的速率．二、填空题7．曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线方程为3x+y+3=0，则0'()fx________0．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）8．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]ff=；0(1)(1)limxfxfx=．9．已知函数()yfx在x=x0处的导数为11，则000()()limxfxxfxx________．10．在曲线323610yxxx的切线中，斜率最小的切线的方程为________．11．若抛物线y=x2―x+c上一点P的横坐标是―2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．三、解答题12．如果曲线y=x2+x―3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程．13．曲线24yxx上有两点A（4，0）、B（2，4）．求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由．14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x（单位：h）时，原油温度（单位：C）为801572xxxxf．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．15．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l．(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．7/17数学试题答案【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．【解析】先求增量：1(1)(1)11yfxfx11111(11)1xxxxx(11)1xxx再求平均变化率：1(11)1yxxx求极限，得导数：01'(1)lim2xyfx．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()yfxxfx；（2）求平均变化率：00()()fxxfxyxx；（3）求极限，得导数：00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx．举一反三：【变式1】【解析】∵)1()1(22xxy，∴2(1)(1)23yxxxxx，∴'1=f00'(1)limlim3=3xxyfxx．【变式2】【解析】∵22(1)(1)3(1)363()yfxfxxx，∴263()63yxxxxx，0lim(63)6xx，即(1)6f．∴函数2()3fxx在1x处的导数为6．8/17【变式3】【解析】∵2200()()(1)(1)23()yfxxfxxxxx，∴23()3yxxxxx，∴00(1)limlim(3)3xxyfxx．例2．【解析】先求增量：2222444(2)()()xxxyxxxxxx，再求平均变化率：224(2)()yxxxxxx．求极限，得导数：23004(2)8'limlim()xxyxxyxxxxx．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】【解析】∵11xxxyxxxxxx