2013年高考理科数学湖北卷word解析版

2013年高考理科数学湖北卷word解析版1/152013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：∵2i2i1i=1i1i1iz＝i(1－i)＝1＋i，∴复数2i=1iz的共轭复数z＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R，集合112xAx，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩＝()．A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}答案：C解析：由题意知集合112xAx＝{x|x≥0}，集合B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，＝{x|x＜2或x＞4}．因此A∩()＝{x|0≤x＜2或x＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(p)∨(q)．4．(2013湖北，理4)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是().A．π12B．π6C．π3D．5π62013年高考理科数学湖北卷word解析版2/15答案：B解析：∵y＝3cosx＋sinx＝π2sin3x，∴函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin3yxm的图象.又∵所得到的图象关于y轴对称，则有π3＋m＝kπ＋π2，k∈Z，∴m＝ππ6k，k∈Z.∵m＞0，∴当k＝0时，m的最小值为π6.5．(2013湖北，理5)已知π04，则双曲线C1：2222=1cossinxy与C2：22222=1sinsintanyx的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等答案：D解析：对于双曲线C1：2222=1cossinxy，21a＝cos2θ，21b＝sin2θ，21c＝1；对于双曲线C2：22222=1sinsintanyx，22a＝sin2θ，22b＝sin2θtan2θ，22c＝sin2θ＋sin2θtan2θ＝sin2θ(1＋tan2θ)＝22222sinsinsin1coscos＝tan2θ.∵只有当θ＝ππ4k(k∈Z)时，21a＝22a或21b＝22b或21c＝22c，而π04，∴排除A，B，C.设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则2121cose，22222tan1sincose.故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()．A．322B．3152C．322D．3152答案：A解析：由题意可知AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，故AB在CD方向上的投影为1532250ABCDCD.7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝25731tt(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()．A．1＋25ln5B．118+25ln3C．4＋25ln5D．4＋50ln2答案：C解析：由于v(t)＝7－3t＋251t，且汽车停止时速度为0，2013年高考理科数学湖北卷word解析版3/15因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d1sttt＝4203725ln12ttt＝4＋25ln5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()．A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4答案：C解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V2＝2π，V3＝23＝8，V4＝13(16＋4＋8)＝283.故V2＜V1＜V3＜V4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()．2013年高考理科数学湖北卷word解析版4/15A．126125B．65C．168125D．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X＝0)＝27125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，故E(X)＝275436815060+1+231251251251251255＋.10．(2013湖北，理10)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则()．A．f(x1)＞0，f(x2)＞12B．f(x1)＜0，f(x2)＜12C．f(x1)＞0，f(x2)＜12D．f(x1)＜0，f(x2)＞12答案：D解析：由题意知，函数f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax2有两个极值点，即f′(x)＝lnx＋1－2ax＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．令h(x)＝lnx＋1－2ax，则h′(x)＝121=2axaxx，当a≤0时h′(x)＞0，f′(x)在区间(0，＋∞)上递增，f′(x)＝0不可能有两个正根，∴a＞0.由h′(x)＝0，可得12xa，从而可知h(x)在区间10,2a上递增，在区间1,2a上递减．因此需111=ln+11=ln0222haaa，即112a时满足条件，故当102a时，h(x)＝0有两个根x1，x2，且1212xxa.又h(1)＝1－2a＞0，∴12112xxa，从而可知函数f(x)在区间(0，x1)上递减，在区间(x1，x2)上递增，在区间(x2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，2013年高考理科数学湖北卷word解析版5/15频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.0044(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.0044.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a＝5，i＝2；第二次执行循环体后：a＝16，i＝3；第三次执行循环体后：a＝8，i＝4；第四次执行循环体后：a＝4，i＝5，满足条件，循环结束．输出i＝5.13．(2013湖北，理13)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝__________.答案：3147解析：由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2当且仅当123xyz时等号成立，此时y＝2x，z＝3x.∵x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，2013年高考理科数学湖北卷word解析版6/15∴1414x，21414y，31414z.∴x＋y＋z＝614314147.14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为2111222nnnn.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝21122nn，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝23122nn，六边形数N(n,6)＝2n2－n，…………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝__________.答案：1000解析：由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，因此N(n，k)＝2211112433222222kkknknnn.故N(10,24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．)15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD＝2，则AB＝6，于是BD＝4，OD＝1.如图，由射影定理得2013年高考理科数学湖北卷word解析版7/15CD2＝AD·BD＝8，则CD＝22.在Rt△OCD中，DE＝·1222233ODCDOC.则2288893CEDCDE，EO＝OC－CE＝81333.因此83=813CEEO.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cossinxayb(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且