2018年北京市高考数学试卷(理科)

第1页（共58页）2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）（2018•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）（2018•北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（2018•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．fB．fC．fD．f第2页（共58页）5．（5分）（2018•北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）（2018•北京）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈AB．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．（5分）（2018•北京）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为．10．（5分）（2018•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）（2018•北京）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f第3页（共58页）（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）（2018•北京）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）（2018•北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）（2018•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（13分）（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．16．（14分）（2018•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．17．（12分）（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类第4页（共58页）电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18．（13分）（2018•北京）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．19．（14分）（2018•北京）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．20．（14分）（2018•北京）设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同第5页（共58页）的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．第6页（共58页）2018年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）（2018•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B={0，1}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）（2018•北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数==，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的第7页（共58页）考查．3．（5分）（2018•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5K：算法和程序框图．【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=，k=3，直接输出S=，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．4．（5分）（2018•北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个第8页（共58页）纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．fB．fC．fD．f【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．5．（5分）（2018•北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积；L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．第9页（共58页）【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．6．（5分）（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|”∴平方得||2+9||2﹣6•=9||2+||2+6•，即1+9﹣6•=9+1+6•，即12•=0，则•=0，即⊥，第10页（共58页）则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．7．（5分）（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】由题意d==，当sin（θ+α）=﹣1时，dmax=1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，dmax=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．（5分）（2018•北京）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈AB．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有第11页（共58页）【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可．【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了