高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量与立体几何一、知识网络：二．典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：①如果向量,ab与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,ab的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量,,OAOBOC不构成空间的一个基底，那么点,,,OABC一定共面；③已知向量,,abc是空间的一个基底，则向量,,ababc，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）。()A①②()B①③()C②③()D①②③题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）()A1122abc()B1122abc()C1122abc()Dcba2121例3、已知：,28)1(,0423pynmxbpnma且pnm,,不共面.若a∥b,求yx,的值.空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离MC1CB1D1A1ABD例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.（三）强化巩固导练1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.2、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()。A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．ab＋cD．ab＋c3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大是。第二课时空间向量的坐标运算（一）、基础知识过关（二）典型题型探析题型1：空间向量的坐标例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）A.a：|a|=b：|b|B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使a=kb（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（）A.－3或1B.3或－1C.－3D.1（3）下列各组向量共面的是（）A.a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5)B.a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1)C.a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1)D.a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=，b=，（1）求a和b的夹角；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.1AAyABxADAF1111DCBAABCD11BA11DAAA1MB12121212121212121111ABCABCM1CC1ABBM和ABAC题型2：数量积例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求a，b的大小(其中0＜a，b＜π)。题型3：空间向量的应用例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。（三）、强化巩固训练1、(07天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b||a－b|③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④2、已知为原点，向量∥，求．4113a113b113c3O3,0,1,1,1,2,,OAOBOCOABCOAAC第三课时空间向量及其运算强化训练（一）、基础自测1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是（）。A.1B.2C.3D.42.下列命题中是真命题的是()。A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CDD.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（）。A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是.5.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE=(用a,b,c表示).（二）、典例探析例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）AP；（2）NA1；（3）MP+1NC.例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.例3、（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=21（AB-AC）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；（2）求〈DM,AO〉.补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为（C）A.a2B.221aC.241aD.243a2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且ABAC=31，则C点的坐标为(C)A.)252127(，，B.)2338(，，C.)371310(，，D.)232725(，，3、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值.立体几何中的向量方法-------空间夹角和距离（三）、基础巩固导练1、在平行六面体ABCD—'D'C'B'A中，设'CCz3BCy2ABx'AC，则x+y+z=（A）A.611B.65C.32D.672、在正方体ABCD—1111DCBA中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（C）A.4B.3C.2D.与P点位置无关3、如图，正方体ABCD—1111DCBA中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（B）A.33B.32C.31D.614、如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。10、（1）略（2）6arcsin3（3）233第二课时用向量法求空间夹角——热点考点题型探析（一）热点考点题型探析题型1：异面直线所成的角例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）A1B1C1D1ABCDExyzEFOABCDOS图2题型2：直线与平面所成的角例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；题型3：二面角例3、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。第三课时用向量法求空间的距离（一）热点考点题型探析题型1：异面直线间的距离例1、如图2，正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB。求异面直线BD和SC之间的距离？题型2：点面距离例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。题型6：线面距离例3、已知正三棱柱111CBAABC的底面边长为8，对角线101CB，D是AC的中点。（1）求点1B到直线AC的距离。（2）求直线1AB到平面BDC1的距离。例4、如图，已知边长为42的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且2PA，设平面过PF且与AE平行。求AE与平面间的距离？（二）、强化巩固训练长方体ABCD—1111DCBA中，AB=4，AD=6，4AA1，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。ＡＢＣＤＧＥＦＯＨBACD立体几何空间向量知识点总结知识网络：【典型例题】例1.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面。例2.如图所示，在平行六面体中，，，，P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，点Q是CA'上的点，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）。例3.已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC。M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证：OG⊥BC。'D'C'B'AABCDaABbADcAA}cba{，，APAMANAQ例4.已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。（1）求以为邻边的平行四边形面积；（2）若，且垂直，求向量的坐标。解：（1）由题中条件可知∴∴以为邻边的平行四边形面积：（2）设由题意得解得∴第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．ACAB和3|a|ACABa、分别与a），，（），，，（231AC312AB211414632|AC||AB|ACABACABcos，23ACABs