2.5平面向量的应用

2.5平面向量应用举例吴忠高级中学马存喜一.复习:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律.ab||||cosθab(1)aabb(2)()()()aaabbb(3)()aabccbc3.重要性质:(1)_________.ab||__________.a(2)___________.aa(3)||____||||.aabb设a、b都是非零向量,则0ab2||a2a≤2a(4)cos=||||ababab为，的夹角//ab当且仅当时，等号成立．若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|=|a|=2211xy212212yyxx向量的长度(模)222221212121yxyxyyxxababcos向量的夹角设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)1212xxyy向量数量积的坐标表示ab向量平行和垂直的坐标表示02121yyxxba1221//abxyxy设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)随堂练习1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ABCD??,,.2等于什么向量等于什么则设向量DBACABbADa3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？ab需要解决什么问题？若求利用ACACAC,.4225.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。练习:用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角求证：∠ABC=90°图2.5-4AOCB利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题理论迁移1.三角形的三条高线具有什么位置关系？交于一点?BAPC,,,PA.2可转化为什么向量关系那么设向量cPCbPBaABCDEFPabc3.对于PA⊥BC,PB⊥AC,用向量观点可分别转化为什么结论?4.如何利用向量观点证明PC⊥BA?练习:ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT1,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2,通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3,把运算结果’翻译‘成几何关系.ba一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知||=2||,且||≠0且关于x的方程x2+||x-·=0有两相等实根，则向量与的夹角是（）（A）-（B）-（C）（D）【解析】选D.由已知可得Δ=||2+4·=0，即4||2+4·|2|·||cosθ=0,∴cosθ=-,∴θ=.aababb63323bbabab23212.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）【解析】选A.利用数量积的几何意义，向量、、、中，在向量方向上的投影最大，故·最大.13PP14PP15PP16PP13PP12PP12PP13PPCBPAPB3.已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在（）（A）AC边所在的直线上（B）BC边所在的直线上（C）AB边所在的直线上（D）△ABC的内部【解析】选A.∴C、P、A三点共线,∴P在AC边所在的直线上.4.（2010·广州模拟）已知非零向量,和满足则△ABC为（）（A）等边三角形（B）等腰非直角三角形（C）非等腰三角形（D）等腰直角三角形BCACAB【解析】选A.∵表示的是∠BAC的平分线上的一个向量，又与的数量积等于0，故BC与∠A的平分线垂直，∴△ABC是等腰三角形.又∵,即cos∠BCA=,∴∠BCA=,∴△ABC是等边三角形.BC213OAOCOBOCOB5.若O为△ABC所在平面内一点，且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为_____.【解析】由已知∴△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！1.向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！2.力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！3.功的定义即是F与所产生位移S的数量积例题例1：同一平面内，互成的三个大小相等的共点力的合力为零。BO120ºabcDCA证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120°，模相等按照向量的加法运算法则，有：a+b+c=a+（b+c）=a+OD又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故a与OD共线且模相等0120,0ODaabc所以：即有：例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：F2θF1FG用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！θF1FGF2F1解：不妨设=，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：=（*）通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此：由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力！F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1F2θF1FGF2探究：（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？F1（2）能等于吗？为什么？F1G答：在（*）式中，当θ=0º时，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，当=即θ=120º时，=cos2θ12F1GF2小结：（1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。500mA（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。例3：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度=10km/h，水流的速度=2km/h。（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？1v2v把物理问题转化为数学模型为：解（1）==所以t==60答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。v-v12v2296dv0.596~~3.1（min）（2）t==60=3（min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mindv10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1vkm/h变式训练(2010年高一统考)河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()v1v2vABDA．10m/sB．6m/sC．215m/sD．217m/s2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行驶的速度大小为（）12AV-V、12BVV、12CVV、12VVD、C1、△ABC中，已知则△ABC的形状是（）A、等腰三角形B、正三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形AB=AC=4ABAC=8，且拓展训练：B3.平行四边形ABCD中，若则下列判断正确的是()A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是正方形C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形AB+AD=AB-ADA4、已知作用于原点的两个力F1=（3,4），F2=（2，-5），现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F=（）A（1,1）B（5，-1）C（-1，-9）D（-5,1）D5、已知向量a表示“向东航行3km”，b表示“向南航行3km”，则a+b表示（）A、向东南航行6kmB、向东南航行C、向东北航行6kmD、向东北航行32km32kmB几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化.1．用向量解决平面几何问题2．用向量解决物理问题物理问题转化为数学问题再用向量知识解决备选例题