七年级数学思维探究(2)聚焦绝对值

祖冲之，中国古代著名的数学家和天文学家，于公元429年出生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓厚的兴趣，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精确到小数点以后7位，是当时世界上最杰出的成就；在天文学方面，他编写了新的历法——大明历，这是当时最好的一部历法．2．聚焦绝对值解读课标绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法．2．恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；ab表示数a、数b的两点间的距离．3．灵活运用绝对值的基本性质①0a≥；②222aaa；③abab；④0aabbb．问题解决例1已知2020yxbxxb，其中020b，20bx≤≤，那么y的最小值为_______．试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．例2式子abababab的所有可能的值有（）．A．2个B．3个C．4个D．无数个试一试根据a、b的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键．例3（1）已知220aba，求1111112220062006abababab的值．（2）设a、b、c为整数，且1abca，求caabbc的值．试一试对于（1），由非负数的性质先导出a、b的值；对于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解（2）的突破口．例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12xx时，可令10x和20x，分别求得1x，2x（称1，2分别为1x与2x的零点值）．在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x；（2）12x≤；（3）2x≥．从而化简代数式12xx可分以下3种情况：（1）当1x时，原式1221xxx；（2）当12x≤时，原式123xx；（3）当2x≥时，原式1221xxx．综上讨论，原式211312212xxxxx≤≥，通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出2x和4x的零点值；（2）化简代数式24xx．试一试在阅读理解的基础上化简求值．例5（1）当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，52x有最大值？这个最大值是多少？（3）求45xx的最小值．（4）求789xxx的最小值．分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x的点，使之到表示4、5的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小．解（1）当3x时，原式有最小值，最小值为0．（2）当2x时，原式有最大值，最大值为5．（3）当45x≤≤时，原式有最小值，最小值为1．（4）当8x时，原式有最小值，最小值为2．对于（3），给出另一种解法：当4x≤时，原式4592xxx，最小值为1；当45x≤时，原式451xx，最小值为1；当5x时，原式4529xxx，最小值为1．综上所述，原式有最小值等于1．以退求讲例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数1x，只显示不运算，接着再输入整数2x后则显示12xx的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P，试求出P的最大值，并说明理由．分析先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P的最大值．解由于输入的数都是非负数，当10x≥，20x≥时，12xx不超过1x、2x中最大的数，对10x≥，20x≥，30x≥，则123xxx不超过1x、2x、3x中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x，2x，…，1991x．相当于计算：12319901991xxxxxP，因此P的值1991≤．另外从运算奇偶性分析，1x、2x为整数，12xx与12xx奇偶性相同，因此P与121991xxx的奇偶性相同．但121991121991xxx偶数，于是断定1990P≤．我们证明P可以取到1990．对1，2，3，4，按如下次序：13420，414344420kkkk，对于0k，1，2，…均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990，故P的最大值为1990．数学冲浪知识技能广场1．数a在数轴上的位置如图所示，且12a，则37a______．2．已知5a，3b，且abba，那么ab_______．3．化简1111111120042003200320022002200120012004________．4．已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示：，1cacab化简后的结果是________．5．已知整数1a，2a，3a，4a，…满足下列条件：10a，211aa，322aa，433aa，…，依次类推，则2012a的值为（）．A．1005B．1006C．1007D．20126．已知aa，化简12aa所得的结果是（）A．1B．1C．23aD．32a7．若m是有理数，则mm一定是（）．A．零B．非负数C．正数D．负数10a-10cba8．有理数a、b、c的大小关系如图：，则下列式子中一定成立的是（）A．0abcB．abcC．acacD．bcca9．化简（1）3x；（2）12xx．10．阅读下面材料并回答问题．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图①，ABOBbab；当A、B两点都不在原点时，（1）如图②，点A、B都在原点的右边，ABOBOAbabaab；（2）如图③，点A、B都在原点的左边，ABOBOAbabaab；（3）如图④，点A、B在原点的两边，ABOAOBababab．综上，数轴上A、B两点之间的距离ABab．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是__________，如果2AB，那么x为_________；③当代数式12xx取最小值时，相应的x的取值范围是_________．思维方法天地11．已知1a，2b，3c，且abc，那么abc_________．12．在数轴上，点A表示的数是3x，点B表示的数是3x，且A、B两点的距离为8，则x______．13．已知5x，1y，那么xyxy_________．14．（1）11xx的最小值为________．（2）11213xxx的最小值为________．15．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示：，则代数式1111aababaaabb的值为（）A．1B．0C．1D．216．若2210mn，则2mn的值为（）A． 4B．1C．0D．417．如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点．如果2220abacbcabc，那么原点O的位置在（）A．线段AC上B．线段CA的延长线上C．线段BC上D．线段CB的延长线上18．设1mxx，则m的最小值为（）0cba图①O(A)Bb0图②ABO0ba图③OBAab0图④ABOab010-1baCBAcbaA．0B．1C．1D．219．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且2410ab，A、B之间的距离记作AB．（1）求线段AB的长AB；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当2PAPB时，求x的值；（3）点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，式子PNPM的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．20．已知abcabcxabcabc，且a、b、c都不等于0，求x的所有可能值．应用探究乐园21．绝对值性质（1）设a、b为有理数，比较ab与ab的大小．（2）已知a、b、c、d是有理数，9ab≤，16cd≤，且25abcd，求badc的值．22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？2．聚焦绝对值问题解决例l202020202040yxbxxbxbxxbx，当20x时，y的值最小为20．例2A分0a，0b；0a，0b；0a，0b；0a，0b四种情况讨论．例3（1）由20ab，20a，得2a，1b．原式1111111111200711122334200720082232007200820082008．（2）因a、b、c为整数，且1abca，故ab与ca一个为0，一个为1，从而1bcbaac所以，原式1102．例4（1）分别令20x和40x，分别求得2x和4x，2x∴和4x的零点值分别为2x和4x．（2）当2x时，原式242422xxxxx；当24x≤时，原式246xx；当4x≥时，原式2422xxx．∴综上讨论，原式222,624,224.xxxxx≤≥数学冲浪1．22．2或83．04．12cb5．B1a，2a，3a，4a，5a，6a，7a，8a对应的数分别为0，1，1，2，2，3，3，4．6．A7．B8．C9．（1）原式3333xxxx≥（2）原式232121231xxxxx≤≥10．①3，3；4②1x；1或3③12x≤≤11．2或012．413．2分x，y同号、x，y异号两种情形讨论14．（1）2（2）2515．D16．C17．A提示：2abc原式化为abba18．B19．（1）5AB；（2）12x；（3）52PNPM，值不变．20．4或0或421．（1）abab≤，当且仅当a、b同号或a、b至少有一为0时等号成立．（2）因9ab