幂级数证明不等式

幂级数证明不等式不等式的证明方法灵活多变，技巧性强，一般情况下没有固定的模式．在证明不等式的过程中，巧妙地利用函数幂级数展开式，能将问题化难为易．例1证明：当0x时，3sin(2cos)xxx．证明由三角函数的幂级数展开式易知353533sin3()33!5!2!5!xxxxxxx，0x且246357(2cos)(21)32!4!6!2!4!6!xxxxxxxxxx，0x又57534!6!5!xxx，则2132()6!6!124!5!5!x，故当120x时不等式成立．例2证明不等式),(,222xeeexxx．证明因为0!nxnxen，(,)x0(1)!nxnnxen，(,)x所以202(2)!nxxnxeen，022!)!2(222nnxnxe，由于22(2)!(2)!!nnxxnn，故222xxxeee，),(x．例3证明不等式21(01)1xxexx．证明将不等式两端取自然对数，有2ln(1)ln(1)xxx．由于11(1)ln(1)nnnxxn，1ln(1)nnxxn，因此21351ln(1)ln(1)22()22135nnxxxxxxxn，即2ln(1)ln(1)xxx，从而21(01)1xxexx．