常微分方程(王高雄)第三版-5.1

第五章线性微分方程组常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第五章§5.1存在唯一性定理常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第五章一、线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如111112211()()()()nnxatxatxatxft221122222()()()()nnxatxatxatxft1122()()()()nnnnnnnxatxatxatxft(5.1)的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.()(,,1,2,,),()(1,2,,)ijiatijnftinatb其中在上连续.()(1,2,,)ixtinatb设函数组在上连续,且1122()()()()(),iiiinnidxtatxatxatxftdt1,2,,in12(),(),,()(5.1)nxtxtxtatb则称函数组为微分方程组在上的一个解.12(5.1),,,nncc含有个独立的任意常数c的解12,,,1,2,,()=(,c),iinxttccin称为(5.1)的通解.2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为12()()()()nxtxtxtxt()(1,2,,)ixtin每一在区间I上有定义.()nnAt函数矩阵定义为1112122122212()()()()()()()()()()nnnnnatatatatatatAtatatat()ijat每一在I上有定义.注:向量或矩阵的代数运算性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.(2)函数向量和矩阵的连续、微分和积分的概念()()xtAt如果函数向量或函数矩阵的每一元素都是区间,atb连续函数上的()(),xtAtatb连续则称或在上可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为12()()(),()nxtxtxtxt111212122212()()()()()()().()()()nnnnnnatatatatatatAtatatat000012()()()()tttttttntxsdsxsdsxsdsxsds0000000000111212122212()()()()()()()()()()tttntttttttntttttttnnnntttasdsasdsasdsasdsasdsasdsAsdsasdsasdsasds注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.3一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:()(()),ijnnAtat记12(,,,),Tnxxxx12()((),(),,())Tnftftftft(5.1)()(),(5.4)dxAtxftdt111112211()()()()nnxatxatxatxft221122222()()()()nnxatxatxatxft1122()()()()nnnnnnnxatxatxatxft(1)定义1(),(),Atatbnnftatbn设是上连续的矩阵是上连续的维列向量函数方程组'()(),(5.4)xAtxft([,][,])(),()tabututt在的解向量是指在上满足'()()()(),.utAtutftt(2)定义2初值问题'0()()()(),(),(5.5)xtAtxtftxt00[,](),().tutut的解,就是方程组(5.4)在包含的区间的解使得例1验证向量()tteute是初值问题'011,(0)101xxx.t在区间上的解解:00(0)eue11-ttee和处处有连续导数'()ut0110ttee01(),10ut().ut是给定初值问题的解ttee4.n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题()(1)1()()()nnnxatxatxft'(1)01020(),(),,()nnxtxtxt(5.6)0()(1,2,,),(),[,],(1,2,,)iiatinftatbtabin其中在上连续为常数.令:1,xx'2,xx,(1);nnxx''3,xx则有:''12,xxx'''23,xxx'(1)1,nnnxxx'()1121()()()(),nnnnnxxatxatxatxft且:'(1)1001200200()(),()(),,()()nnnxtxtxtxtxtxt(5.6)可化为'''(1)123,,,,.nnxxxxxxxx'121010000010000010()()()()()nnnxxatatatatft120()nxt(5.7)0()(5.6)ttatb若是在包含的区间的任一解,令12()()()()ntttt'(1)12()(),()(),,()(),.nnttttttatb()(5.7)t是的解显然:102000()()()()ntttt0'0(1)0()()()nttt12n且:'1''2'()()()()ntttt231()()()()()()()nnntttattatft12101000010()0001()()()()nnntatatatat000()ft10()((),())[,](5.7)Tnutututtab反之,设是在包含的区间上的解1()(),()(5.6),tutt定义函数则是的解事实上,由'1'2'()()()nututut121010000100001()()()()nnnatatatat12()()()nututut000()ft知''12()()(),tutut'''23()()(),tutut(1)'1()()(),nnntutut()'11()()()()()()(),nnnntutatutatutft(1)1()()()()(),nnattattft即()(1)1()()()()()(),nnntattattft且(1)010100()(),,()()nnntuttut结论：初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.例2''28,(0)1,(0)4txxtxexx将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设1(),xtx'2(),xtx则有''''228txxxtxe1282,ttxxe即有'12,xx'21282,txtxxe也即'1122()()01()()82xtxtxtxtt0te12(0)1(0)4xx注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组,反之却不成立.如:方程组'1122()()10()()01xtxtxtxt不能化为一个二阶微分方程.定理1假设)(tA是nn阶矩阵函数,()ft是n维列向量.它们都在区间atb上连续，则对任意0[,]tab及任一n维常向量2,,,),Tn1=(,初值问题二、存在唯一性定理'0()()(5.5)()xAtxftxt在区间atb上存在唯一解()xt.1存在唯一性定理３n阶线性微分方程的解存在唯一性定理推论012()(1,2,)(),[,],,,,inatinftatbtab如果及都是区间的连续函数则对任一及任意方程(),,xtatb存在唯一解定义于区间且满足初始条件()(1)1()()()nnnxatxatxft'(1)01020(),(),,().nnttt