07第七章 应力状态和强度理论

第七章应力和应变分析强度理论§7–1应力状态概述§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3空间应力状态§7–4材料的破坏形式§7–5强度理论一、什么是一点处的应力状态？§7–1应力状态的概念应力与点的位置有关与作用面的方位有关xyzPaσaτaA过一点有无数个不同方位的截面。A所谓一点处的应力状态，就是通过受力构件内某一点的各个截面上的应力情况。二、一点处应力状态的表示方法：szsxsysxsysztyxtyztzytzx单元体——构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。应力单元体是一点受力状态的完整表示。Atxytxz（1）单元体单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等，面上的应力值即为该点所对应截面方位的应力大小。一点有六个独立的应力分量（2）应力分量xzzyyxzxyzxyzyxttttttsssAAAA三、为什么要研究一点处的应力状态pAmPlAPPσy云纹图σx云纹图τxy云纹图σr云纹图PPσy云纹图σx云纹图σr云纹图对于同时存在几种变形的杆件，其强度问题比较复杂。正应力和切应力并不是分别对构件的破坏起作用，而是有联系的。于是，前面介绍的分别考虑构件危险点的正应力强度和切应力强度的强度条件将不再适用。因此，有必要研究构件危险点的应力状态，建立组合变形情况下构件的强度条件。ttss,maxmax前面建立的强度条件：为什么要研究一点处的应力状态？四、主平面、主应力：（1）主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。（2）主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321sssxszxyzsxsyszAAA任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。s1s2s31、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。2、二向应力状态（PlaneStateofStress）：二个主应力不为零的应力状态。3、三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。五、应力状态分类sxsxs1s1s2s2s3s3s1s1s2s2PP[例1]画出图中的A点的应力单元体。Ass六、二向和三向应力状态的实例dxdx[例2]画出图中A点的应力单元体。ttttttmmA[例3]12345P1P2q画出图中各点的应力单元体。QMsMtQ12345P1P2qst12345maxt1sss1s12345P1P2qs1st12345maxtttss212345P1P2qst12345maxttt3s112345P1P2qst12345maxtttss4s112345P1P2qs5st12345maxt5sss1如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为p，容器直径D，壁厚。[例4]pD)20(Ds42DpDss4pD用横截面将容器截开，l受力如图所示,根据平衡方程lsssllssssDlpl2sps2pDllσ'σ'σ''σ''pls4pDs2pDlσ''σ''σ'σ'σ''σ''pss42pDss21pDlσ''σ''xyz§7–2平面应力状态分析——解析法sxtxsytytytxsxsysxtxysytyxsysx平面应力状态:单元体有一对平面上的应力为零。一、斜截面上的应力二、极值正应力和极值切应力三、主平面和主应力sata求：σα、ταsataτxsysxτysxsytytytxsxsytxα已知：σx、σy、τx、α一、斜截面上的应力dAcosαdAsinα,0FnAdassata解：设斜截面面积为dA，dAτysasysxtatnατx由平衡得：as2cosdAxaatsincosdAxas2sindAyaatcossindAy0由ty=tx和三角变换，得：asas2cosxaatsincosxas2sinyaatcossinyatasssssa2sin2cos22xyxyx同理：(1)正应力拉为正；正负号规定：τysasysxtatnατxsxsytytytxsxsytxααnatassta2cos2sin2xyx2剪应力绕研究对象顺时针转为正；3a逆时针为正。对于两个垂直的任意斜截面，下式成立yxssssaa90atasssssa2sin2cos22xyxyx求斜截面上的应力，单位MPa[例5]20x5030°30°30atasssss2sin2cos2230xyxyx30,20,30,50atssxyx解：atasst2cos2sin230xyx60sin2060cos2305023050)MPa(7.1260cos2060sin23050)MPa(6.44σαταatasssssa2sin2cos22xyxyxτxsysxτysataα二、极值正应力,0dd:asa令3)-(722tan0yxxssta00:aa和由此得两个驻点)2(00aaatasssssa2sin2cos22xyxyx02cos22sinatassxyx得：sminsmaxsmaxsminτxsysxτysataαα0切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。22minmax22xyxyxtssssss）（令τα=0，可得主平面的方位：yxxssta22tan0即：主应力就是最大或最小的正应力。由atassta2cos2sin2xyx02cos2sin2atassxyx得三、主平面和主应力sminsmaxs1smaxs2sminα0s1s222minmax22xyxyxtssssss）（三个主应力按代数值由大至小顺序排列：minmax1,0,maxsssminmax3,0,minsss321sss四、极值切应力5)-(722tg1xyxtssa02sin22cos)(atassataxyxdd令0atadd1a，可得极值切应力的方位角。上式可确定互成90o的两个值,1a即和1a901'1aa1.极值切应力方位角2.极值切应力比较式（7－3）与（7－5），可见)902tan(2cot2tan001aaa4501aa与相差，说明极值切应力的所在平面与主平面成角。1a0a45456)-(722minmax22minmaxsstssttxyx）（五、最大切应力平面应力状态只是三向应力状态的特例。所以231maxsst[例6]20x5030求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa20,30,50xyxtss解：22minmax22xyxyxtssssss）（22202305023050）（7.44107.347.54yxxssta22tan030502025.02tan0a02sMPa7.343sMPa7.541s∴x在单元体上画出主平面和主应力0as1s1s3s320x5030x0as1s1s3s3剪应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。56.2620a28.130a72.760a分析受扭构件的应力状态。解:(1)单元体如图所示(2)主应力0yxsstxWTtt22minmax22xyxyxtssssss）（tt2xyxytxty[例7]txAtytssts3210，，mCAmmmyxxssta22tan0(2)主平面所在方位xytxty9020a450a450as1ts1s3ts3s1s1s3s3铸铁扭转破坏断口分析[例8]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：P=6.28kN，m=47.1N·m，d=20mm。mmAPPστστAτσ解：APs)(20MPa)MPa(30163dmWTtt22minmax22xyxyxtssssss）（MPa1.6MPa6.214MPaMPa6.21,0,6.41321sssyxxssta22tan020)30(236.7120a8.350aAτσx0as1s1s3s312345P1P2qst12345maxt51六、梁的主应力及其主应力迹线主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。红实线表示拉主应力迹线；蓝虚线表示压主应力迹线。q拉应力压应力qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面xyz一、空间应力状态§7–3空间应力状态sxsztxysxsytyxtyztxztzytzxsy二、三向应力分析xyzs2s1s3s1s2s3s1s3s3s2satas2s12、三向应力分析xyz1s2s3sasats2s1s3s1s2s3s2s1s1s3s1s3s2s2s1s3s3s2sata1s2s3sasat一点的最大剪应力为：tmax231maxssts2s1s3s1s2s3一点的最大正应力为：1maxss斜面上的应力在三向应力圆的阴影内三向应力圆是一点处所有各个不同方位截面上应力的集合。D求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）由单元体图知：yz面为主面5040xyz30解：503040[例9]由单元体图知：yz面为主平面。,MPa7.571s231maxsst5040xyz30ABC解：304022minmax40230230）（ssMPa7.7MPa275MPa3.42∴,MPa502sMPa273s50xxlxxysxsztxysxsytyxtyztxztzytzxsy（一）、一点的变形(线应变和角应变)yylyzzlzyzzxxyz设单元体的三个边长分别为lx、ly、lz受力后三个边长分别伸长Δx、Δy、Δz线应变角应变三、广义胡克定律（二）、单向拉（压）时的胡克定律sE,ExysExzs0,0,0zxyzxyxyzsxPPA,Exxs（三）、纯剪切的应力--应变关系tG0,0,0zyx0zxyzttttmmAγ,Gxyxytxyztxy（四）、复杂应力状态下的应力—应变关系依叠加原理,得:xyzszsytxysxsxxsxsysyszszxxlxxlxxxxxxlxlxlxxxxtxytyxtzytyztxytxzxyzszsytxysxsxsxsysyszszExxsEyysEzxsEEEzyxssszyxxEsss1xxxxEysyxxzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1上式称为广义胡克定律sxxsxsysyszsztxytyxtzytyztxytxzxzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1xyzszsytxysx上式称为广义胡克定律sxsytyxtyxtxysxsytxy对于平面应力状态问题：xyyEss