2013届高考数学一轮复习讲义 5.4 平面向量应用举例

主页一轮复习讲义平面向量应用举例主页1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔⇔.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．要点梳理忆一忆知识要点x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a＝λb(b≠0)主页2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．忆一忆知识要点加法和减法矢量要点梳理主页3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．主页例1平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．应用平面向量的几何意义解题对第(1)问，可先求OM→，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．主页(1)证明因为点M为线段AB的中点，所以OM→＝12OA→＋12OB→.所以MP→＝OP→－OM→＝(xOA→＋yOB→)－12OA→＋12OB→＝x－12OA→＋y－12OB→.(2)解设点M为线段AB的中点，则由OA→⊥OB→，知|MA→|＝|MB→|＝|MO→|＝12|AB→|＝1.又由(1)及a2x－122＋b2y－122＝1，得|MP→|2＝|OP→－OM→|2＝x－122OA→2＋y－122OB→2＝x－122a2＋y－122b2＝1.所以|MP→|＝|MO→|＝|MA→|＝|MB→|＝1.主页故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，|OP→|max＝2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|OA→|·|OB→|＝ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP→|的最大值等问题．探究提高主页已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状为________三角形．变式训练1因为非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cos∠BAC＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，所以∠BAC＝π3.所以△ABC为等边三角形．等边主页例2质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．平面向量在物理计算题中的应用方法一由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F23＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝27.主页方法二如图，|F1F2→|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos60°＝12，则|OF1→|2＋|F1F2→|2＝|OF2→|2，即∠OF1F2为直角，|F3|＝2F21＋|F1F2→|22＝27.答案27主页如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？变式训练2解设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×32＝5003J，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22J.∴F，f所做的功分别为5003J，－22J.主页例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最小值．平面向量与解析几何的综合问题第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解．主页解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0，得|PC|2－14|PQ→|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)因PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NP→)2－NF→2＝NP→2－1，主页P是椭圆x216＋y212＝1上的任意一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，所以NP→2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋20.因y0∈[－23，23]，所以当y0＝23时，NP→2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x0＝0)，故PE→·PF→的最小值为12－43.主页本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中的最值等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算．探究提高主页已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA→＝2AN→，求点N的轨迹方程．变式训练3解设M(x0，y0)、N(x，y)．由MA→＝2AN→得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴x0＝3－2x，y0＝3－2y.∵点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.主页例4已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．向量在解三角形中的应用解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝34，sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.主页(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.主页向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中条件通过向量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完成．向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目往往较为简单．探究提高主页△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．变式训练4∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，又∵asinA＝bsinB＝csinC，则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∴B＝5π6.主页(14分)已知平面上三点A、B、C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．忽视对直角位置的讨论致误易错警示学生解答展示主页因BC→和AC→已知，则可得AB→(含k的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k的值．审题视角主页规范解答解(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一条直线上，即向量BC→与AC→平行，∵BC→∥AC→，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝12.[4分](2)∵BC→＝(2－k,3)，∴CB→＝(k－2，－3)，∴AB→＝AC→＋CB→＝(k,1)．[6分]∵△ABC为直角三角形，则当∠BAC是直角时，AB→⊥AC→，即AB→·AC→＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；[8分]当∠ABC是直角时，AB→⊥BC→，即AB→·BC→＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；[10分]主页当∠ACB是直角时，AC→⊥BC→，即AC→·BC→＝0，∴16－2k＝0，解得k＝8.[12分]综上得k∈{－2，－1,3,8}．[14分]批阅笔记(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认为∠A一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素．主页1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向