2013届高考数学一轮复习讲义第四章 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

主页一轮复习讲义同角三角函数的基本关系及诱导公式主页1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.忆一忆知识要点sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示要点梳理主页2．下列各角的终边与角α的终边的关系与角α终边的关系角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系忆一忆知识要点相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y＝x对称要点梳理主页3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限忆一忆知识要点－sinα－sinα－sinαsinαsinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαcosαtanαtanα－tanα－tanα要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如：∵sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2r2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．主页2．三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质：奇变偶不变，符号看象限．对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，主页再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；②转化为锐角．主页例1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．同角三角函数的基本关系式的应用(1)由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1，可求sinα，cosα的值；(2)1＝sin2α＋cos2α，分子、分母同除以cos2α即可．主页解(1)方法一联立方程sinα＋cosα＝15①sin2α＋cos2α＝1②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα0，∴sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.主页方法二∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－12250且0απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝75，由sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.主页(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.主页(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．探究提高主页(1)已知tanα＝2，求sin2α＋sinαcosα－2cos2α；(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.变式训练1解(1)sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝sin2α＋sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanα－2tan2α＋1＝45.(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③主页由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝38，即cosα＝±64.主页例2(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值．三角函数的诱导公式的应用(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．主页解(1)∵π6＋α＋5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－π6＋α.∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α＝－cosπ6＋α＝－33，即cos5π6－α＝－33.主页(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tanα－72π＝sin(π＋α)·－tan72π－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．探究提高主页(1)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α；(2)已知f(x)＝sinπ－xcos2π－xtan－x＋πcos－π2＋x，求f－31π3的值．变式训练2解(1)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.主页(2)∵f(x)＝sinx·cosx·－tanxsinx＝－cosx·tanx＝－sinx，∴f－31π3＝－sin－31π3＝sin31π3＝sin10π＋π3＝sinπ3＝32.主页例3求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.三角函数式的化简与证明证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：①从一边开始证明等于另一边，即化简左边，使左边＝右边；②证明左、右等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等价的式子．主页证明左边＝sinθ1＋sinθcosθ＋cosθ1＋cosθsinθ＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝sinθ＋cos2θsinθ＋cosθ＋sin2θcosθ＝sin2θ＋cos2θsinθ＋cos2θ＋sin2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右边．主页证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便．探究提高主页证明下列恒等式：(1)1＋2sin360°＋xcos360°＋xcos2360°＋x－sin2360°＋x＝1＋tanx1－tanx；(2)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α＝－tanα.变式训练3证明(1)左边＝cos2x＋sin2x＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝cosx＋sinx2cosx＋sinxcosx－sinx＝cosx＋sinxcosx－sinx＝1＋tanx1－tanx＝右边．∴原式得证．主页(2)左边＝－tanαsin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－tanα－sinαcosα－cosαsinα＝－tanα＝右边．∴原式得证．主页(14分)(1)化简：sin4n－14π－α＋cos4n＋14π－α(n∈Z)；(2)化简：sinnπ－αcos[n－1π－α]sin[n＋1π＋α]cosnπ＋α(n∈Z)．思想与方法分类讨论思想和整体、化归思想在三角函数式化简中的应用(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．审题视角主页规范解答解(1)当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则原式＝sin8k－14π－α＋cos8k＋14π－α＝sin2kπ＋－π4－α＋cos2kπ＋π4－α＝sin－π4－α＋cosπ4－α＝－sinπ4＋α＋cosπ2－π4＋α＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.[3分]主页当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝sin8k＋34π－α＋cos8k＋54π－α＝sin2kπ＋3π4－α＋cos2kπ＋5π4－α＝sin3π4－α＋cos5π4－α＝sinπ－π4＋α＋cosπ＋π4－α＝sinπ4＋α－cosπ4－α＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0.[6分]故sin4n－14π－α＋cos4n＋14π－α＝0.[7分]主页(2)当n＝2k(k∈Z)时，原式＝sin2kπ－αcos[2k－1π－α]sin[2k＋1π＋α]cos2kπ＋α＝sin－α·cos－π－αsinπ＋α·cosα＝－sinα－cosα－sinα·cosα＝－1；[10分]当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝sin[2k＋1π－α]·cos[2k＋1－1π－α]sin[2k＋1＋1π＋α]·cos[2k＋1π＋α]＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα－cosα＝－1.[13分]综上，原式＝－1.[14分]主页批阅笔记(1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用了分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．(2)在转化过程中，考生缺乏整体意识，是出错的主要原因．主页同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方