二轮专题一.二函数与导数教师版

教师版专题一一.函数的有关概念1．函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法类型x满足的条件2nfx，n∈N*f(x)≥01fx与[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)(a＞0，a≠1)f(x)＞0logf(x)g(x)f(x)＞0，且f(x)≠1，g(x)＞0tanf(x)f(x)≠kπ＋π2，k∈Z例1.(1)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是(B)A.－13，＋∞B.－13，1C.－13，13D.－∞，－13(2).若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为_______．答案：[－1,0]练习.1．函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为________．答案：(－1,1)2．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为(D)A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪2，＋∞)D．[－2,2]例2(1).函数f(x)＝2x2－8ax＋3，x＜1，logax，x≥1在x∈R内单调递减，则a的范围是(C)A.0，12B.12，1C.12，58D.58，1(2)．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是(D)A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1x(3)．设f(x)＝x－a2，x≤0，x＋1x＋a，x＞0.若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(D)A．[－1,2]B．[－1,0]C．[1,2]D．[0,2](4)．(2016·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间(－1,1)上，f(x)＝x＋a，－1≤x＜0，25－x，0≤x＜1，其中a∈R若f－52＝f92，则f(5a)的值是________．答案：－25(5)．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝x2＋4a－3x＋3a，x＜0，logax＋1＋1，x≥0(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．答案：13，23练习.1．函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，y＝f(x)与直线x＝1的交点个数是________．答案：12．已知函数f(x)满足f2x|x|＝log2x|x|2，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝log2xB．f(x)＝－log2xC．f(x)＝2－xD．f(x)＝x－23．设函数f(x)＝x2＋x，x＜0－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，2]二.函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．1利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.2图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.3导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值例1.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(A)A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(B)A．(－∞，0)B.0，12C．0，＋∞)D.12，＋∞3.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)，若f(x)在12，2上的值域为12，2，则a＝________.答案：254.已知f(x)＝2－ax＋1，x＜1，ax，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2＞0成立，那么a的取值范围是________．答案：32，25.已知，定义在[－2,3]上的函数f(x)是减函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．答案]12，3练习.1．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D)A．y＝11－xB．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x2．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(A)A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数3．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x4.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(A)A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)5．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(D)A．a＞－14B．a≥－14C．－14≤a＜0D．－14≤a≤06．函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(C)A．a＝－3B．a＜3C．a≤－3D．a≥－37．已知f(x)为R上的减函数，则满足f1x＜f(1)的实数x的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(0,1)8．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(A)A．f(a＋1)＞f(2)B．f(a＋1)＜f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定9．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(B)A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)10．已知f(x)＝x2－4x＋3，x≤0－x2－2x＋3，x＞0，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，－2)B．(－∞，0)C．(0,2)D．(－2,0)例2(1)已知f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是(B)A．f(0.6)＜f(0)＜f(－0.5)B．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)C．f(0.6)＜f(－0.5)＜f(0)D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6)想一想．若函数变为f(x)＝12x－sinx，比较f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小．(2)．(2016·高考北京卷)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．答案：2(3)．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝x3－3x，x≤a，－2x，x＞a.若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．答案：a＜－1(4)．(2016·高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．答案：12，32三．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．四.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1fx(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期例1(1)下列函数为奇函数的是(D)A．y＝xB．y＝exC．y＝cosxD．y＝ex－e－x(2)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则(D)A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数(3)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(C)A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)(4)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(C)A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)(5)．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．答案：13(6)．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递减，且f12＝0，则满足f(x)＜0的x的集合为(C)A.－∞，12∪(2，＋∞)B.12，1∪(1,2)C.0，12∪(2，＋∞)D.12，1∪(2，＋∞)练习.1．已知函数f(x)＝－x＋log21－x1＋x＋1，则f12＋f－12的值为(B)A．2B．－2C．0D．2log2132.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x