最新全国高中数学联赛模拟试题总

欢迎来主页下载---精品文档精品文档2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设127()3xfxx，11()(())nnfxffx，2,3xx，则2013(2014)f______.2.设(2,4)A=-，2{|40,}RBxxaxx=++=?．若AB的非空子集个数为1，则实数a的取值范围是．3.设R是满足00[][]5xyxyxy，，的点,xy构成的区域，则区域R的面积为_______.（其中x表示不超过实数x的最大整数）.4.二元函数22()cos47cos47cos4cos48sinsin6fxyxyxyxy，的最大值为___5.已知B是双曲线22:2410Cxy-+=上靠近点(0,)(1)Amm的一个顶点．若以点A为圆心，AB长为半径的圆与双曲线C交于3个点，则m的取值范围是．6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为34，第偶数局，乙赢的概率为34.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.7.设五边形ABCDE满足120ABCD，则ACBDAEED的最小值为8.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为075.这样的截面共可作出个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数a的取值范围，使得2是不等式22log(23)21logxxaa的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列1nna定义为11a，24a，1112nnnaaan.欢迎来主页下载---精品文档精品文档MDO2O1O3CBA⑴求证：数列1nna为整数列；⑵求证：121nnaa1n是完全平方数.11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.(1)若PRPQ,求的值;(2)若PRSP,求ΔPSR面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设A为12,OO的一个交点，直线l切12,OO分别于,BC，3O为ABC的外心，3O关于A的对称点为D，M为12OO的中点.求证：12ODMODA.欢迎来主页下载---精品文档精品文档二、（本小题满分40分）设)(131211*NnnSn.证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n，使得存在正整数数列12naaa，使得和1ijaaijn互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合S是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个m的非负整数，使得由S中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求m的最小值.欢迎来主页下载---精品文档精品文档2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''DCBAABCD中，二面角''CBDA等于（用反三角函数表示）2.如果三角形ABC的三个内角CBA,,满足CBAcot,cot,cot依次成等差数列，则角B的最大值是3.实数列na满足条件：)2(2,12,12211121naanaaaannnn，则通项公式na)1(n。4.21,FF是椭圆)0(2222babyax的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果21FPF的面积为1，,2tan,21tan1221FPFFPF则a5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(aaxxf与其反函数)(1xf的图像恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是6.已知正实数12,,,naaa与非负实数12,,,nbbb满足(1)1212nnaaabbbn;欢迎来主页下载---精品文档精品文档(2)121212nnaaabbb，则121212nnnbbbaaaaaa的最大值为__________．7.已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(xxxg是定义在区间1,0上的函数，则函数)(xxgy的图像与x轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列na的前n项和nS组成的数列满足)1(796221nnnSSSnnn，已知,5,121aa求数列na的通项公式。10.（20分）设,3,2,1xxx是多项式方程011103xx的三个根。（1）已知,3,2,1xxx都落在区间)5,5(之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：123arctanarctanarctan4xxx11.（20分）如下图，椭圆)1,0(),0,2(,14:22BAyx是椭圆上的两点，直线)0,0)(,(.1:,2:000021yxyxPylxl是上的一个动点，3l是过点P且与相切的直线，EDC,,分别是直线1l与2l，2l与3l，1l与3l的交点，求证：三条直线BEAD,和CP共点。欢迎来主页下载---精品文档精品文档PSHMACB2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数,ab，定义运算“”为：[2]abab?+．在直角坐标系中，设点集{(,)|03,02,(2)2(2)2}Axyxyxyyx=??排=排，求A所对应的平面区域的面积．二（本题满分40分）如图，在ABC中，ABAC，H为ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足BHMCHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：MPS的外接圆与ABC的外接圆相切.三（本题满分50分）整数,,,abcd满足1adbc.求2222abcdabcdacbdbc的最小值,欢迎来主页下载---精品文档精品文档并求出一切达到最小值的四元数组,,,abcd四（本题满分50分）设整数2n,0,1,,1Gn，,ABG，对xG，记()ABfx为满足(mod)abxn，aA，bB的数组(,)ab的个数，类似定义()AAfx，()BBfx.证明：2()()()ABAABBxGxGfxfxfx.2015全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）欢迎来主页下载---精品文档精品文档1.已知函数2()logfxx，若实数,()abab满足()()fafb，则2014ab的取值范围是__________．2.函数()sincos(,)Zfxaxbxab=+?满足(){}()(){}00xfxxffx===，则a的最大值为．3.设复数1(6)(4)zabi，2(32)(23)zabi，3(3)(32)zabi，（,abR），则当123||||||zzz取到最小值时，34ab________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)aa，高为(6)hh，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为．5.在ABC中，02,3,30ABACBAC，P是ABC所在平面上任意一点，则PAPBPBPCPCPA的最小值是______________6.正数列{}na满足:14nnnSa(nS为前n项之和),则2nna=_____________________．7.设过点(2,0)M的直线l与抛物线24yx交于点,AB，与圆229()162xy交于点,CD，若ACBD且ABCD，则这样的直线l的条数是8.6名男生和x名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生站在一起的概率为p，若1100p，则x的最小值为．二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列}{na满足：2121113534nnnnnnnnnaaaaaaaaa（*nN），且122,10aa，求}{na的通项公式．10.二次函数()fx的图像开口向上，与x轴正向交于,AB两点，与y轴交于点C，以D为顶点，若三角形ABC的外接圆与y轴相切，且150DAC，则0x时，求()fxx的最小值．欢迎来主页下载---精品文档精品文档11、已知圆222(1)(2)xyR（0R）与椭圆2214xy有公共点，求圆的半径R的最小值．2015全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆1O、圆2O与圆3O相交于点P，圆1O和圆2O的另一个交点为A，经过点A的一条直线分别交圆1O、圆2O于点B、C，AP的延长线交圆3O于点D，作//DEBC交圆3O于点E，再作EM、EN分别切圆1O、圆2O于M、N．求证：22EMENDEBC．欢迎来主页下载---精品文档精品文档二、（本题满分40分）若数列na是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的*nN，只有有限个正整数m使得man成立，记这样的m的个数为*()na，则得到一个新数列*()na，如此可定义数列**()na等．求证：**()nnaa．三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p，至少存在一个nN，满足：2|20142014np．欢迎来主页下载---精品文档精品文档四、（本题满分50分）平面上有4n（*nN）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个圆相交．设这些圆的交点个数为()fn，求()fn的最小值．2015年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}Axy=与3{1,log(2)}Bx=+恰有一个公共元为正数1x+，则AB=．2.若函数23log2afxaxx在区间1,2上递增，则a的取值范围是___________.3.已知02，且tan3tan，则u的最大值为________.4.在单调递增数列na中，已知12a，24a，且21na，2na，21na成等差数列，2na，21na，22na成等比数列，1,2,3,n.那么，100a_________.5.已知点(1,2,5)P是空间直角坐标系Oxyz内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,ABC三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为．6.在ABC中，角,,ABC的对边为,,abc，5a，4b，又知31cos()32AB，则ABC的面积为．7.已知过两抛物线21:1(1)Cxy，22:(1)41Cyxa的交点的各自的切线互相垂直，欢迎来主页下载---精品文档精品文档则实数a的值为．8.若整数,ab既不互质，又不存在整除关系，则称,ab是一个“联盟”数对；设A是集1,2,,2014M的n元子集，且A中任两数皆是“联盟”数对，则n的最大值为．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列{}na满足21131,,12nnnaaana．求证：（1）当2n时，na严格单调递减．（2）当1n时，212|3|231nnnrar，这里23r．10.（本小题满分20分）设椭圆22