【2019最新】高中数学第四章圆与方程4-1圆的方程4-1-2圆的一般方程优化练习

1/5【2019最新】高中数学第四章圆与方程4-1圆的方程4-1-2圆的一般方程优化练习圆的一般方程[课时作业][A组基础巩固]1．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A．2x－y＋1＝0B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y－1＝0解析：把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，直线2x＋y＋1＝0过圆心．答案：B2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F解析：由已知D2＋E2－4F0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E.答案：A3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：x2＋2x＋y2＝0配方得(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1,0)，故所求直线为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.答案：C4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由－x－y＋1＝0，x＋1＝0得C(－1,2)．2/5∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案：C5．若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则y－4x－2的取值范围为()A.0，43B.43，＋∞C.－∞，－43D.－43，0答案：B6．直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a3)相交于两点A，B，弦AB的中点Q为(0,1)，则直线l的方程为________________．解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，kPQ＝2－1－1－0＝－1，∴直线l的斜率k＝1，故直线l的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝07．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得x0＋0＝2，y0＋1＝－2，解得x0＝2，y0＝－3，所以点B的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．解析：设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式x＝a＋32y＝b＋12，得a＝2x－3b＝2y－1，点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得x－322＋y－122＝12，此即为点Q的轨迹方程．答案：x－322＋y－122＝123/59．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．解析：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋10，∴－17t1.(2)r＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋167，∵37∈－17，1，∴当t＝37时，圆的面积最大，rmax＝477，所对应的圆的方程是x－2472＋y＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋90时，点P恒在圆内，∴8t2－6t0，∴0t34.10．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0)，其中a0，圆M为△ABC的外接圆．(1)求圆M的方程；(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．解析：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆M过点A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0)∴a2＋aE＋F＝03a＋3aD＋F＝03a－3aD＋F＝0，解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.由3＋y＝0x2＋y2＋3y＝0，解得x＝0，y＝－3.∴圆M过定点(0，－3)．[B组能力提升]1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的4/5图形的面积等于()A.πB．4πC．8πD．9π解析：设动点轨迹坐标为P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知x＋2＋y2＝2x－2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.答案：B2．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)D．x2＋y2＝9(x≠0)解析：如图所示，BC的中点D(0,0)，∵|AD|＝3，∴点A在以D(0,0)为圆心，3为半径的圆上，且A、B、C三点不共线．∴A的轨迹方程是x2＋y2＝9(y≠0)．答案：C3．若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．解析：要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则应有a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，解得－2a23.∴符合条件的a只有一个，a＝0，∴原方程只能表示一个圆．答案：1个4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6.若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．解析：设圆心为M(x，y)．由|AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3，即x－2＋y＋2＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝95．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．5/5解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3，y0＝y－4.又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.当点P在直线OM上时，有x＝－95，y＝125或x＝－215，y＝285.因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点－95，125和点－215，285.6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C－D2，－E2，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－D2－E2－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半径长r＝D2＋E2－122＝2，∴D2＋E2＝20.②由①②可得D＝2，E＝－4或D＝－4，E＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D20，即D0.则D＝2，E＝－4.故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.