精编初中数学几何动点问题分类专题汇总全书

1/62初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”2/62或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。目录一、一条线段最值1单动点型1.1动点运动轨迹——直线型1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型1.2.1定点定长1.2.2定弦定角1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形2双动点型2.1利用等量代换实现转化2.2利用和差关系实现转化2.3利用勾股定理实现转化2.4利用三角形边角关系实现转化二、两条线段最值1PA+PB型1.1两定一动（将军饮马）1.2两定两动过河拆桥四边形周长最小；1.3一定两动3/62两动点不随动1.4三动点2PA+K·PB型2.1“胡不归模型”2.2阿氏圆三、“费马点”模型线段极值解题方略一、一条线段最值1单动点型所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题．通常解决这类问题的思考步骤为三步：(一)分析“源动点”的不变量。(二)分析“从动点”与“源动点”问关系。(三)分析“从动点”的不变量。1.1动点运动轨迹——直线型动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”例1、如图1，在ABC中，30CAB,BC=1，D为AB上一动点(不与点A重合)，AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是_________。方法指导：1．当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求4/62线段最值．2．有时动点轨迹不容易确定，如例1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3．试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44mm(其中m为实数)，当PM的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；1.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1:3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.5/62【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE:EC＝1:3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是_____.【变式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．（1）如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；（2）如图2，点G为FQ的中点，连结PG．①当AE＝1时，求PG的长；②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．2．如图，C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝16AB＝1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点.在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为__________．6/62【变式1】已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是______．【变式2】等边三角形ABC中，BC＝6，D、E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为______．【变式3】如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为______．3.如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD∶PE＝1∶3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，则PF的最小值为__________.7/62【延伸】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P（P与B、C不重合），连接PA延长至E，使PE∶PA＝x∶1，连接PD并延长到F，使PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值（用x，y表示）.【同型练】如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为______．③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。8/621．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为__________.【变式】1.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是________．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD＝2时，AN＝______，NM与AB的位置关系是_________；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，求ME的长的最小值？9/623．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为___________．【秒杀训练】1.如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.(0,0)B.11(,)22C.22(,)22D.11(,)222.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】A．5B．5C．3D．210/623.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点。（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（即MC）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值。1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。1.2.1定点定长Ⅰ动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧；1.如图1，在正方形ABCD中，边长为2,点E是AB的中点，点F是BC边上任意一点，将△BEF沿EF所在直线折叠得到△PEF，连接AP，则CP的最小值________，AP的最小值是_________.11/621．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为_____________．【变式1】在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积_______cm2.【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为________．【变式3】如图，一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面12/62的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′＝(32)a，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长_______________．2．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为________．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重